MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsmstopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsmstopn 22193
Description: The topology of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x (𝜑𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d (𝜑𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k (𝜑𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
setsms.m (𝜑𝑀𝑉)
Assertion
Ref Expression
setsmstopn (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))

Proof of Theorem setsmstopn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setsms.x . . 3 (𝜑𝑋 = (Base‘𝑀))
2 setsms.d . . 3 (𝜑𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
3 setsms.k . . 3 (𝜑𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
4 setsms.m . . 3 (𝜑𝑀𝑉)
51, 2, 3, 4setsmstset 22192 . 2 (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopSet‘𝐾))
6 df-mopn 19661 . . . . . . . 8 MetOpen = (𝑥 ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑥)))
76dmmptss 5590 . . . . . . 7 dom MetOpen ⊆ ran ∞Met
87sseli 3579 . . . . . 6 (𝐷 ∈ dom MetOpen → 𝐷 ran ∞Met)
9 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → 𝐷 ran ∞Met)
10 xmetunirn 22052 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
119, 10sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
12 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
1312mopnuni 22156 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → dom dom 𝐷 = (MetOpen‘𝐷))
1411, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → dom dom 𝐷 = (MetOpen‘𝐷))
152dmeqd 5286 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝐷 = dom ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
16 dmres 5378 . . . . . . . . . . . . . 14 dom ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀))
1715, 16syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom 𝐷 = ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀)))
18 inss1 3811 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀)) ⊆ (𝑋 × 𝑋)
1917, 18syl6eqss 3634 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom 𝐷 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
20 dmss 5283 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝐷 ⊆ (𝑋 × 𝑋) → dom dom 𝐷 ⊆ dom (𝑋 × 𝑋))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom dom 𝐷 ⊆ dom (𝑋 × 𝑋))
22 dmxpid 5305 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑋 × 𝑋) = 𝑋
2321, 22syl6sseq 3630 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom dom 𝐷𝑋)
2423adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → dom dom 𝐷𝑋)
2514, 24eqsstr3d 3619 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝑋)
26 sspwuni 4577 . . . . . . . 8 ((MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋 (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝑋)
2725, 26sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
2827ex 450 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 ran ∞Met → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋))
298, 28syl5 34 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋))
30 ndmfv 6175 . . . . . 6 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) = ∅)
31 0ss 3944 . . . . . 6 ∅ ⊆ 𝒫 𝑋
3230, 31syl6eqss 3634 . . . . 5 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
3329, 32pm2.61d1 171 . . . 4 (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
341, 2, 3setsmsbas 22190 . . . . 5 (𝜑𝑋 = (Base‘𝐾))
3534pweqd 4135 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 𝑋 = 𝒫 (Base‘𝐾))
3633, 5, 353sstr3d 3626 . . 3 (𝜑 → (TopSet‘𝐾) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐾))
37 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
38 eqid 2621 . . . 4 (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐾)
3937, 38topnid 16017 . . 3 ((TopSet‘𝐾) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐾) → (TopSet‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾))
4036, 39syl 17 . 2 (𝜑 → (TopSet‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾))
415, 40eqtrd 2655 1 (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cin 3554  wss 3555  c0 3891  𝒫 cpw 4130  cop 4154   cuni 4402   × cxp 5072  dom cdm 5074  ran crn 5075  cres 5076  cfv 5847  (class class class)co 6604  ndxcnx 15778   sSet csts 15779  Basecbs 15781  TopSetcts 15868  distcds 15871  TopOpenctopn 16003  topGenctg 16019  ∞Metcxmt 19650  ballcbl 19652  MetOpencmopn 19655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-tset 15881  df-rest 16004  df-topn 16005  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623
This theorem is referenced by:  setsxms  22194  tmslem  22197
  Copyright terms: Public domain W3C validator