Theorem setsmstopn 23088

Description: The topology of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsms.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
setsms.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
setsmstopn	⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))

Proof of Theorem setsmstopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsms.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
2		setsms.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
3		setsms.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
4		setsms.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
5	1, 2, 3, 4	setsmstset 23087	. 2 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopSet‘𝐾))
6		df-mopn 20541	. . . . . . . 8 ⊢ MetOpen = (𝑥 ∈ ∪ ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑥)))
7	6	dmmptss 6095	. . . . . . 7 ⊢ dom MetOpen ⊆ ∪ ran ∞Met
8	7	sseli 3963	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ dom MetOpen → 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met)
9		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met)
10		xmetunirn 22947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
11	9, 10	sylib 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
12		eqid 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
13	12	mopnuni 23051	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → dom dom 𝐷 = ∪ (MetOpen‘𝐷))
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → dom dom 𝐷 = ∪ (MetOpen‘𝐷))
15	2	dmeqd 5774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom 𝐷 = dom ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
16		dmres 5875	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀))
17	15, 16	syl6eq 2872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom 𝐷 = ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀)))
18		inss1 4205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀)) ⊆ (𝑋 × 𝑋)
19	17, 18	eqsstrdi 4021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝐷 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
20		dmss 5771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dom 𝐷 ⊆ (𝑋 × 𝑋) → dom dom 𝐷 ⊆ dom (𝑋 × 𝑋))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐷 ⊆ dom (𝑋 × 𝑋))
22		dmxpid 5800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom (𝑋 × 𝑋) = 𝑋
23	21, 22	sseqtrdi 4017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐷 ⊆ 𝑋)
24	23	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → dom dom 𝐷 ⊆ 𝑋)
25	14, 24	eqsstrrd 4006	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → ∪ (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝑋)
26		sspwuni 5022	. . . . . . . 8 ⊢ ((MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝑋)
27	25, 26	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
28	27	ex 415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋))
29	8, 28	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋))
30		ndmfv 6700	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) = ∅)
31		0ss 4350	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ 𝒫 𝑋
32	30, 31	eqsstrdi 4021	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
33	29, 32	pm2.61d1 182	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
34	1, 2, 3	setsmsbas 23085	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝐾))
35	34	pweqd 4558	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑋 = 𝒫 (Base‘𝐾))
36	33, 5, 35	3sstr3d 4013	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝐾) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐾))
37		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
38		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐾)
39	37, 38	topnid 16709	. . 3 ⊢ ((TopSet‘𝐾) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐾) → (TopSet‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾))
40	36, 39	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾))
41	5, 40	eqtrd 2856	1 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  𝒫 cpw 4539  ⟨cop 4573  ∪ cuni 4838   × cxp 5553  dom cdm 5555  ran crn 5556   ↾ cres 5557  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ndxcnx 16480   sSet csts 16481  Basecbs 16483  TopSetcts 16571  distcds 16574  TopOpenctopn 16695  topGenctg 16711  ∞Metcxmet 20530  ballcbl 20532  MetOpencmopn 20535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-tset 16584  df-rest 16696  df-topn 16697  df-topgen 16717  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-top 21502  df-topon 21519  df-bases 21554

This theorem is referenced by:  setsxms  23089  tmslem  23092