Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smflimsuplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smflimsuplem3 41552
Description: The limit of the (𝐻𝑛) functions is sigma-measurable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smflimsuplem3.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smflimsuplem3.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smflimsuplem3.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smflimsuplem3.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimsuplem3.e 𝐸 = (𝑛𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
smflimsuplem3.h 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
Assertion
Ref Expression
smflimsuplem3 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 𝑘𝑍 𝑛 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐻𝑛) ∣ (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑚,𝐹,𝑥   𝑘,𝐻,𝑥   𝑆,𝑘,𝑛   𝑘,𝑍,𝑛,𝑥   𝑚,𝑍,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛,𝑥   𝜑,𝑚
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑚)   𝐸(𝑘,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)   𝐻(𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem smflimsuplem3
StepHypRef Expression
1 nfv 1992 . 2 𝑛𝜑
2 nfv 1992 . 2 𝑥𝜑
3 nfv 1992 . 2 𝑘𝜑
4 smflimsuplem3.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 smflimsuplem3.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 fvex 6363 . . . 4 (𝐻𝑛) ∈ V
76dmex 7265 . . 3 dom (𝐻𝑛) ∈ V
87a1i 11 . 2 ((𝜑𝑛𝑍) → dom (𝐻𝑛) ∈ V)
9 fvexd 6365 . 2 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ dom (𝐻𝑛)) → ((𝐻𝑛)‘𝑥) ∈ V)
10 smflimsuplem3.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
1110adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
12 smflimsuplem3.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (𝑛𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 = (𝑛𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}))
14 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
155eluzelz2 40143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
16 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℤ𝑛) = (ℤ𝑛)
1715, 16uzn0d 40168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
18 fvex 6363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹𝑚) ∈ V
1918dmex 7265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom (𝐹𝑚) ∈ V
2019rgenw 3062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝑍 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
2217, 21iinexd 39835 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
2322adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
2414, 23rabexd 4965 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ∈ V)
2513, 24fvmpt2d 6456 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
26 fvres 6369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) = (𝐹𝑚))
2726eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) → (𝐹𝑚) = ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚))
2827adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑚) = ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚))
2928dmeqd 5481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → dom (𝐹𝑚) = dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚))
3029iineq2dv 4695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚))
3130eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ↔ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)))
3227fveq1d 6355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥))
3332mpteq2ia 4892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥))
3433rneqi 5507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥))
3534supeq1i 8520 . . . . . . . . . . . . . . 15 sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍) → sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ))
3736eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
3831, 37anbi12d 749 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) ↔ (𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) ∧ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)))
3938rabbidva2 3326 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
4025, 39eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
4140, 36mpteq12dv 4885 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
42 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑚(𝐹 ↾ (ℤ𝑛))
43 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝐹 ↾ (ℤ𝑛))
4415adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛 ∈ ℤ)
45 smflimsuplem3.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
4645adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
475eleq2i 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
4847biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
49 uzss 11920 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑀))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑀))
5150, 5syl6sseqr 3793 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ⊆ 𝑍)
5251adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → (ℤ𝑛) ⊆ 𝑍)
5346, 52fssresd 6232 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑛)):(ℤ𝑛)⟶(SMblFn‘𝑆))
54 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
55 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ))
5642, 43, 44, 16, 11, 53, 54, 55smfsupxr 41546 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥 ∈ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) ∈ (SMblFn‘𝑆))
5741, 56eqeltrd 2839 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) ∈ (SMblFn‘𝑆))
58 smflimsuplem3.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
5957, 58fmptd 6549 . . . . . . 7 (𝜑𝐻:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
6059ffvelrnda 6523 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
61 eqid 2760 . . . . . 6 dom (𝐻𝑛) = dom (𝐻𝑛)
6211, 60, 61smff 41465 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛):dom (𝐻𝑛)⟶ℝ)
6362feqmptd 6412 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) = (𝑥 ∈ dom (𝐻𝑛) ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)))
6463eqcomd 2766 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥 ∈ dom (𝐻𝑛) ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)) = (𝐻𝑛))
6564, 60eqeltrd 2839 . 2 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥 ∈ dom (𝐻𝑛) ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
66 eqid 2760 . 2 {𝑥 𝑘𝑍 𝑛 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐻𝑛) ∣ (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } = {𝑥 𝑘𝑍 𝑛 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐻𝑛) ∣ (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
67 eqid 2760 . 2 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑘𝑍 𝑛 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐻𝑛) ∣ (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑘𝑍 𝑛 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐻𝑛) ∣ (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥))))
681, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 65, 66, 67smflimmpt 41540 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 𝑘𝑍 𝑛 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐻𝑛) ∣ (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  {crab 3054  Vcvv 3340  wss 3715   ciun 4672   ciin 4673  cmpt 4881  dom cdm 5266  ran crn 5267  cres 5268  wf 6045  cfv 6049  supcsup 8513  cr 10147  *cxr 10285   < clt 10286  cz 11589  cuz 11899  cli 14434  SAlgcsalg 41049  SMblFncsmblfn 41433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cc 9469  ax-ac2 9497  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-omul 7735  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-acn 8978  df-ac 9149  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-fl 12807  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-rest 16305  df-topgen 16326  df-top 20921  df-bases 20972  df-salg 41050  df-salgen 41054  df-smblfn 41434
This theorem is referenced by:  smflimsuplem8  41557
  Copyright terms: Public domain W3C validator