MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sralem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sralem 19225
Description: Lemma for srabase 19226 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srapart.a (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
sralem.1 𝐸 = Slot 𝑁
sralem.2 𝑁 ∈ ℕ
sralem.3 (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)
Assertion
Ref Expression
sralem (𝜑 → (𝐸𝑊) = (𝐸𝐴))

Proof of Theorem sralem
StepHypRef Expression
1 srapart.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
21adantl 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
3 srapart.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
4 sraval 19224 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
53, 4sylan2 490 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
62, 5eqtrd 2685 . . . 4 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
76fveq2d 6233 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝐴) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩)))
8 sralem.1 . . . . . 6 𝐸 = Slot 𝑁
9 sralem.2 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ
108, 9ndxid 15930 . . . . 5 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
11 sralem.3 . . . . . . 7 (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)
129nnrei 11067 . . . . . . . . . 10 𝑁 ∈ ℝ
13 5re 11137 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℝ
1412, 13ltnei 10199 . . . . . . . . 9 (𝑁 < 5 → 5 ≠ 𝑁)
1514necomd 2878 . . . . . . . 8 (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 5)
16 5lt8 11255 . . . . . . . . . 10 5 < 8
17 8re 11143 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℝ
1813, 17, 12lttri 10201 . . . . . . . . . 10 ((5 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 5 < 𝑁)
1916, 18mpan 706 . . . . . . . . 9 (8 < 𝑁 → 5 < 𝑁)
2013, 12ltnei 10199 . . . . . . . . 9 (5 < 𝑁𝑁 ≠ 5)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 (8 < 𝑁𝑁 ≠ 5)
2215, 21jaoi 393 . . . . . . 7 ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 5)
2311, 22ax-mp 5 . . . . . 6 𝑁 ≠ 5
248, 9ndxarg 15929 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) = 𝑁
25 scandx 16060 . . . . . . 7 (Scalar‘ndx) = 5
2624, 25neeq12i 2889 . . . . . 6 ((𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 5)
2723, 26mpbir 221 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
2810, 27setsnid 15962 . . . 4 (𝐸𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩))
29 5lt6 11242 . . . . . . . . . . 11 5 < 6
30 6re 11139 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℝ
3112, 13, 30lttri 10201 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 6) → 𝑁 < 6)
3229, 31mpan2 707 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 5 → 𝑁 < 6)
3312, 30ltnei 10199 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 6 → 6 ≠ 𝑁)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 < 5 → 6 ≠ 𝑁)
3534necomd 2878 . . . . . . . 8 (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 6)
36 6lt8 11254 . . . . . . . . . 10 6 < 8
3730, 17, 12lttri 10201 . . . . . . . . . 10 ((6 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 6 < 𝑁)
3836, 37mpan 706 . . . . . . . . 9 (8 < 𝑁 → 6 < 𝑁)
3930, 12ltnei 10199 . . . . . . . . 9 (6 < 𝑁𝑁 ≠ 6)
4038, 39syl 17 . . . . . . . 8 (8 < 𝑁𝑁 ≠ 6)
4135, 40jaoi 393 . . . . . . 7 ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 6)
4211, 41ax-mp 5 . . . . . 6 𝑁 ≠ 6
43 vscandx 16062 . . . . . . 7 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
4424, 43neeq12i 2889 . . . . . 6 ((𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 6)
4542, 44mpbir 221 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
4610, 45setsnid 15962 . . . 4 (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩)) = (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩))
4712, 13, 17lttri 10201 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 8) → 𝑁 < 8)
4816, 47mpan2 707 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 5 → 𝑁 < 8)
4912, 17ltnei 10199 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 8 → 8 ≠ 𝑁)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 < 5 → 8 ≠ 𝑁)
5150necomd 2878 . . . . . . . 8 (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 8)
5217, 12ltnei 10199 . . . . . . . 8 (8 < 𝑁𝑁 ≠ 8)
5351, 52jaoi 393 . . . . . . 7 ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 8)
5411, 53ax-mp 5 . . . . . 6 𝑁 ≠ 8
55 ipndx 16069 . . . . . . 7 (·𝑖‘ndx) = 8
5624, 55neeq12i 2889 . . . . . 6 ((𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 8)
5754, 56mpbir 221 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
5810, 57setsnid 15962 . . . 4 (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩)) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
5928, 46, 583eqtri 2677 . . 3 (𝐸𝑊) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
607, 59syl6reqr 2704 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝑊) = (𝐸𝐴))
618str0 15958 . . 3 ∅ = (𝐸‘∅)
62 fvprc 6223 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑊) = ∅)
6362adantr 480 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝑊) = ∅)
64 fvprc 6223 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V → (subringAlg ‘𝑊) = ∅)
6564fveq1d 6231 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (∅‘𝑆))
66 0fv 6265 . . . . . 6 (∅‘𝑆) = ∅
6765, 66syl6eq 2701 . . . . 5 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
681, 67sylan9eqr 2707 . . . 4 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
6968fveq2d 6233 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝐴) = (𝐸‘∅))
7061, 63, 693eqtr4a 2711 . 2 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝑊) = (𝐸𝐴))
7160, 70pm2.61ian 848 1 (𝜑 → (𝐸𝑊) = (𝐸𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948  cop 4216   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690   < clt 10112  cn 11058  5c5 11111  6c6 11112  8c8 11114  ndxcnx 15901   sSet csts 15902  Slot cslot 15903  Basecbs 15904  s cress 15905  .rcmulr 15989  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  ·𝑖cip 15993  subringAlg csra 19216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-sets 15911  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-sra 19220
This theorem is referenced by:  srabase  19226  sraaddg  19227  sramulr  19228  sratset  19232  srads  19234  cchhllem  25812
  Copyright terms: Public domain W3C validator