Theorem sralem 19949

Description: Lemma for srabase 19950 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
sralem.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
sralem.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
sralem.3	⊢ (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
sralem	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))

Proof of Theorem sralem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srapart.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
2	1	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
3		srapart.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
4		sraval 19948	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
5	3, 4	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
6	2, 5	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
7	6	fveq2d 6674	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝐴) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)))
8		sralem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
9		sralem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10	8, 9	ndxid 16509	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
11		sralem.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)
12	9	nnrei 11647	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
13		5re 11725	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
14	12, 13	ltnei 10764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 5 → 5 ≠ 𝑁)
15	14	necomd 3071	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 5)
16		5lt8 11832	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 < 8
17		8re 11734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℝ
18	13, 17, 12	lttri 10766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 5 < 𝑁)
19	16, 18	mpan 688	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 < 𝑁 → 5 < 𝑁)
20	13, 12	ltnei 10764	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 5)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 5)
22	15, 21	jaoi 853	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 5)
23	11, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ 5
24	8, 9	ndxarg 16508	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
25		scandx 16632	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
26	24, 25	neeq12i 3082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 5)
27	23, 26	mpbir 233	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
28	10, 27	setsnid 16539	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩))
29		5lt6 11819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 < 6
30		6re 11728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℝ
31	12, 13, 30	lttri 10766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 6) → 𝑁 < 6)
32	29, 31	mpan2 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 < 6)
33	12, 30	ltnei 10764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 6 → 6 ≠ 𝑁)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 5 → 6 ≠ 𝑁)
35	34	necomd 3071	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 6)
36		6lt8 11831	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 < 8
37	30, 17, 12	lttri 10766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((6 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 6 < 𝑁)
38	36, 37	mpan 688	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 < 𝑁 → 6 < 𝑁)
39	30, 12	ltnei 10764	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 6)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 6)
41	35, 40	jaoi 853	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 6)
42	11, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ 6
43		vscandx 16634	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
44	24, 43	neeq12i 3082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 6)
45	42, 44	mpbir 233	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
46	10, 45	setsnid 16539	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)) = (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
47	12, 13, 17	lttri 10766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 8) → 𝑁 < 8)
48	16, 47	mpan2 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 < 8)
49	12, 17	ltnei 10764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 8 → 8 ≠ 𝑁)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 5 → 8 ≠ 𝑁)
51	50	necomd 3071	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 8)
52	17, 12	ltnei 10764	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 8)
53	51, 52	jaoi 853	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 8)
54	11, 53	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ 8
55		ipndx 16641	. . . . . . 7 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
56	24, 55	neeq12i 3082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 8)
57	54, 56	mpbir 233	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
58	10, 57	setsnid 16539	. . . 4 ⊢ (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
59	28, 46, 58	3eqtri 2848	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
60	7, 59	syl6reqr 2875	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))
61	8	str0 16535	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
62		fvprc 6663	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = ∅)
63	62	adantr 483	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝑊) = ∅)
64		fv2prc 6710	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
65	1, 64	sylan9eqr 2878	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
66	65	fveq2d 6674	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝐴) = (𝐸‘∅))
67	61, 63, 66	3eqtr4a 2882	. 2 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))
68	60, 67	pm2.61ian 810	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  Vcvv 3494   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  ⟨cop 4573   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   < clt 10675  ℕcn 11638  5c5 11696  6c6 11697  8c8 11699  ndxcnx 16480   sSet csts 16481  Slot cslot 16482  Basecbs 16483   ↾_s cress 16484  ._rcmulr 16566  Scalarcsca 16568   ·_𝑠 cvsca 16569  ·_𝑖cip 16570  subringAlg csra 19940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-sets 16490  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-sra 19944

This theorem is referenced by:  srabase  19950  sraaddg  19951  sramulr  19952  sratset  19956  srads  19958  cchhllem  26673