MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqfn 12796
Description: The sequence builder function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
seqfn (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀))

Proof of Theorem seqfn
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqeq1 12787 . . 3 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → seq𝑀( + , 𝐹) = seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹))
2 fveq2 6178 . . 3 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ𝑀) = (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
31, 2fneq12d 5971 . 2 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀) ↔ seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹) Fn (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))))
4 0z 11373 . . . 4 0 ∈ ℤ
54elimel 4141 . . 3 if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
6 eqid 2620 . . 3 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω)
7 fvex 6188 . . 3 (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ∈ V
8 eqid 2620 . . 3 (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω)
98seqval 12795 . . 3 seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹) = ran (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω)
105, 6, 7, 8, 9uzrdgfni 12740 . 2 seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹) Fn (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
113, 10dedth 4130 1 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1481  wcel 1988  Vcvv 3195  ifcif 4077  cop 4174  cmpt 4720  cres 5106   Fn wfn 5871  cfv 5876  (class class class)co 6635  cmpt2 6637  ωcom 7050  reccrdg 7490  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924  cz 11362  cuz 11672  seqcseq 12784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-seq 12785
This theorem is referenced by:  seqf2  12803  seqfeq2  12807  seqfeq  12809  seqfeq3  12834  ser0f  12837  facnn  13045  fac0  13046  seqshft  13806  prodf1f  14605  efcvgfsum  14797  seq1st  15265  prmrec  15607  gsumpropd2lem  17254  ovolunlem1  23246  ovoliunlem1  23251  volsup  23305  mtest  24139  mtestbdd  24140  pserulm  24157  pserdvlem2  24163  emcllem5  24707  lgamgulm2  24743  lgamcvglem  24747  gamcvg2lem  24766  esumfsup  30106  esumpcvgval  30114  esumcvg  30122  esumcvgsum  30124  esumsup  30125  sseqfv1  30425  sseqfn  30426  sseqfv2  30430  faclimlem1  31604  knoppcnlem8  32465  knoppcnlem11  32468  mblfinlem2  33418  ovoliunnfl  33422  voliunnfl  33424
  Copyright terms: Public domain W3C validator