Theorem seqfn 13382

Description: The sequence builder function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqfn	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem seqfn

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqeq1 13373	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → seq𝑀( + , 𝐹) = seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹))
2		fveq2 6670	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
3	1, 2	fneq12d 6448	. 2 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀) ↔ seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))))
4		0z 11993	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
5	4	elimel 4534	. . 3 ⊢ if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
6		eqid 2821	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω)
7		fvex 6683	. . 3 ⊢ (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ∈ V
8		eqid 2821	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω)
9	8	seqval 13381	. . 3 ⊢ seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹) = ran (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω)
10	5, 6, 7, 8, 9	uzrdgfni 13327	. 2 ⊢ seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
11	3, 10	dedth 4523	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494  ifcif 4467  ⟨cop 4573   ↦ cmpt 5146   ↾ cres 5557   Fn wfn 6350  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158  ωcom 7580  reccrdg 8045  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540  ℤcz 11982  ℤ_≥cuz 12244  seqcseq 13370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-seq 13371

This theorem is referenced by:  seqexw  13386  seqf2  13390  seqfeq2  13394  seqfeq  13396  seqfeq3  13421  ser0f  13424  facnn  13636  fac0  13637  seqshft  14444  prodf1f  15248  efcvgfsum  15439  seq1st  15915  prmrec  16258  gsumpropd2lem  17889  mulgfval  18226  ovolunlem1  24098  ovoliunlem1  24103  volsup  24157  mtest  24992  mtestbdd  24993  pserulm  25010  pserdvlem2  25016  emcllem5  25577  lgamgulm2  25613  lgamcvglem  25617  gamcvg2lem  25636  esumfsup  31329  esumpcvgval  31337  esumcvg  31345  esumcvgsum  31347  esumsup  31348  sseqfv1  31647  sseqfn  31648  sseqfv2  31652  faclimlem1  32975  knoppcnlem8  33839  knoppcnlem11  33842  mblfinlem2  34945  ovoliunnfl  34949  voliunnfl  34951