MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdccat2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdccat2 13391
Description: Recover the right half of a concatenated word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
swrdccat2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩) = 𝑇)

Proof of Theorem swrdccat2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatcl 13293 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
2 swrdcl 13352 . . . 4 ((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩) ∈ Word 𝐵)
3 wrdf 13244 . . . 4 (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩) ∈ Word 𝐵 → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩):(0..^(#‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩)))⟶𝐵)
4 ffn 6004 . . . 4 (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩):(0..^(#‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩)))⟶𝐵 → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩) Fn (0..^(#‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩))))
51, 2, 3, 44syl 19 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩) Fn (0..^(#‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩))))
6 lencl 13258 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
76adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
8 nn0uz 11666 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
97, 8syl6eleq 2714 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ‘0))
107nn0zd 11424 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
11 uzid 11646 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑆) ∈ ℤ → (#‘𝑆) ∈ (ℤ‘(#‘𝑆)))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ‘(#‘𝑆)))
13 lencl 13258 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑇) ∈ ℕ0)
1413adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑇) ∈ ℕ0)
15 uzaddcl 11688 . . . . . . . . 9 (((#‘𝑆) ∈ (ℤ‘(#‘𝑆)) ∧ (#‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑆)))
1612, 14, 15syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑆)))
17 elfzuzb 12275 . . . . . . . 8 ((#‘𝑆) ∈ (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↔ ((#‘𝑆) ∈ (ℤ‘0) ∧ ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑆))))
189, 16, 17sylanbrc 697 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
197, 14nn0addcld 11300 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ ℕ0)
2019, 8syl6eleq 2714 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ‘0))
2119nn0zd 11424 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ ℤ)
22 uzid 11646 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ ℤ → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ‘((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ‘((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
24 elfzuzb 12275 . . . . . . . . 9 (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↔ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ‘0) ∧ ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ‘((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))))
2520, 23, 24sylanbrc 697 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
26 ccatlen 13294 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))
2726oveq2d 6621 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0...(#‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
2825, 27eleqtrrd 2707 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (0...(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
29 swrdlen 13356 . . . . . . 7 (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 ∧ (#‘𝑆) ∈ (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ∧ ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (0...(#‘(𝑆 ++ 𝑇)))) → (#‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩)) = (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) − (#‘𝑆)))
301, 18, 28, 29syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩)) = (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) − (#‘𝑆)))
317nn0cnd 11298 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ ℂ)
3214nn0cnd 11298 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑇) ∈ ℂ)
3331, 32pncan2d 10339 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) − (#‘𝑆)) = (#‘𝑇))
3430, 33eqtrd 2660 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩)) = (#‘𝑇))
3534oveq2d 6621 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(#‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩))) = (0..^(#‘𝑇)))
3635fneq2d 5942 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩) Fn (0..^(#‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩))) ↔ ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩) Fn (0..^(#‘𝑇))))
375, 36mpbid 222 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩) Fn (0..^(#‘𝑇)))
38 wrdf 13244 . . . 4 (𝑇 ∈ Word 𝐵𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐵)
3938adantl 482 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐵)
40 ffn 6004 . . 3 (𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐵𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)))
4139, 40syl 17 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)))
421adantr 481 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
4318adantr 481 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (#‘𝑆) ∈ (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
4428adantr 481 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (0...(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
4533oveq2d 6621 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) − (#‘𝑆))) = (0..^(#‘𝑇)))
4645eleq2d 2689 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑘 ∈ (0..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) − (#‘𝑆))) ↔ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑇))))
4746biimpar 502 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → 𝑘 ∈ (0..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) − (#‘𝑆))))
48 swrdfv 13357 . . . 4 ((((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 ∧ (#‘𝑆) ∈ (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ∧ ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (0...(#‘(𝑆 ++ 𝑇)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) − (#‘𝑆)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩)‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑘 + (#‘𝑆))))
4942, 43, 44, 47, 48syl31anc 1326 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩)‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑘 + (#‘𝑆))))
50 ccatval3 13297 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑘 + (#‘𝑆))) = (𝑇𝑘))
51503expa 1262 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑘 + (#‘𝑆))) = (𝑇𝑘))
5249, 51eqtrd 2660 . 2 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩)‘𝑘) = (𝑇𝑘))
5337, 41, 52eqfnfvd 6271 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩) = 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  cop 4159   Fn wfn 5845  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  0cc0 9881   + caddc 9884  cmin 10211  0cn0 11237  cz 11322  cuz 11631  ...cfz 12265  ..^cfzo 12403  #chash 13054  Word cword 13225   ++ cconcat 13227   substr csubstr 13229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-hash 13055  df-word 13233  df-concat 13235  df-substr 13237
This theorem is referenced by:  ccatopth  13403
  Copyright terms: Public domain W3C validator