Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  symgfcoeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgfcoeu 28972
Description: Uniqueness property of permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
symgfcoeu.g 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝐷))
Assertion
Ref Expression
symgfcoeu ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ∃!𝑝𝐺 𝑄 = (𝑃𝑝))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑝   𝐺,𝑝   𝑃,𝑝   𝑄,𝑝   𝑉,𝑝

Proof of Theorem symgfcoeu
StepHypRef Expression
1 eqid 2514 . . . . . 6 (SymGrp‘𝐷) = (SymGrp‘𝐷)
2 symgfcoeu.g . . . . . 6 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝐷))
3 eqid 2514 . . . . . 6 (invg‘(SymGrp‘𝐷)) = (invg‘(SymGrp‘𝐷))
41, 2, 3symginv 17537 . . . . 5 (𝑃𝐺 → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) = 𝑃)
543ad2ant2 1075 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) = 𝑃)
61symggrp 17535 . . . . . 6 (𝐷𝑉 → (SymGrp‘𝐷) ∈ Grp)
763ad2ant1 1074 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (SymGrp‘𝐷) ∈ Grp)
8 simp2 1054 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → 𝑃𝐺)
92, 3grpinvcl 17182 . . . . 5 (((SymGrp‘𝐷) ∈ Grp ∧ 𝑃𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) ∈ 𝐺)
107, 8, 9syl2anc 690 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) ∈ 𝐺)
115, 10eqeltrrd 2593 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → 𝑃𝐺)
12 simp3 1055 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → 𝑄𝐺)
13 eqid 2514 . . . . 5 (+g‘(SymGrp‘𝐷)) = (+g‘(SymGrp‘𝐷))
141, 2, 13symgov 17525 . . . 4 ((𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃(+g‘(SymGrp‘𝐷))𝑄) = (𝑃𝑄))
151, 2, 13symgcl 17526 . . . 4 ((𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃(+g‘(SymGrp‘𝐷))𝑄) ∈ 𝐺)
1614, 15eqeltrrd 2593 . . 3 ((𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃𝑄) ∈ 𝐺)
1711, 12, 16syl2anc 690 . 2 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃𝑄) ∈ 𝐺)
18 coass 5461 . . . 4 ((𝑃𝑃) ∘ 𝑄) = (𝑃 ∘ (𝑃𝑄))
191, 2symgbasf1o 17518 . . . . . 6 (𝑃𝐺𝑃:𝐷1-1-onto𝐷)
20 f1ococnv2 5960 . . . . . 6 (𝑃:𝐷1-1-onto𝐷 → (𝑃𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
218, 19, 203syl 18 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
2221coeq1d 5097 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ((𝑃𝑃) ∘ 𝑄) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄))
2318, 22syl5eqr 2562 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃 ∘ (𝑃𝑄)) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄))
241, 2symgbasf1o 17518 . . . . 5 (𝑄𝐺𝑄:𝐷1-1-onto𝐷)
25 f1of 5934 . . . . 5 (𝑄:𝐷1-1-onto𝐷𝑄:𝐷𝐷)
2612, 24, 253syl 18 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → 𝑄:𝐷𝐷)
27 fcoi2 5876 . . . 4 (𝑄:𝐷𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
2826, 27syl 17 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
2923, 28eqtr2d 2549 . 2 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → 𝑄 = (𝑃 ∘ (𝑃𝑄)))
30 simpr 475 . . . . . 6 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → 𝑄 = (𝑃𝑝))
3130coeq2d 5098 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → (𝑃𝑄) = (𝑃 ∘ (𝑃𝑝)))
32 coass 5461 . . . . . . 7 ((𝑃𝑃) ∘ 𝑝) = (𝑃 ∘ (𝑃𝑝))
3332a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → ((𝑃𝑃) ∘ 𝑝) = (𝑃 ∘ (𝑃𝑝)))
34 f1ococnv1 5962 . . . . . . . . 9 (𝑃:𝐷1-1-onto𝐷 → (𝑃𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
358, 19, 343syl 18 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
3635coeq1d 5097 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ((𝑃𝑃) ∘ 𝑝) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
3736ad2antrr 757 . . . . . 6 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → ((𝑃𝑃) ∘ 𝑝) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
3833, 37eqtr3d 2550 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → (𝑃 ∘ (𝑃𝑝)) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
39 simplr 787 . . . . . . 7 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → 𝑝𝐺)
401, 2symgbasf1o 17518 . . . . . . 7 (𝑝𝐺𝑝:𝐷1-1-onto𝐷)
41 f1of 5934 . . . . . . 7 (𝑝:𝐷1-1-onto𝐷𝑝:𝐷𝐷)
4239, 40, 413syl 18 . . . . . 6 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → 𝑝:𝐷𝐷)
43 fcoi2 5876 . . . . . 6 (𝑝:𝐷𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝) = 𝑝)
4442, 43syl 17 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝) = 𝑝)
4531, 38, 443eqtrrd 2553 . . . 4 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → 𝑝 = (𝑃𝑄))
4645ex 448 . . 3 (((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑄 = (𝑃𝑝) → 𝑝 = (𝑃𝑄)))
4746ralrimiva 2853 . 2 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ∀𝑝𝐺 (𝑄 = (𝑃𝑝) → 𝑝 = (𝑃𝑄)))
48 eqidd 2515 . . . 4 (𝑝 = (𝑃𝑄) → 𝑄 = 𝑄)
49 coeq2 5094 . . . 4 (𝑝 = (𝑃𝑄) → (𝑃𝑝) = (𝑃 ∘ (𝑃𝑄)))
5048, 49eqeq12d 2529 . . 3 (𝑝 = (𝑃𝑄) → (𝑄 = (𝑃𝑝) ↔ 𝑄 = (𝑃 ∘ (𝑃𝑄))))
5150eqreu 3269 . 2 (((𝑃𝑄) ∈ 𝐺𝑄 = (𝑃 ∘ (𝑃𝑄)) ∧ ∀𝑝𝐺 (𝑄 = (𝑃𝑝) → 𝑝 = (𝑃𝑄))) → ∃!𝑝𝐺 𝑄 = (𝑃𝑝))
5217, 29, 47, 51syl3anc 1317 1 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ∃!𝑝𝐺 𝑄 = (𝑃𝑝))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1938  wral 2800  ∃!wreu 2802   I cid 4842  ccnv 4931  cres 4934  ccom 4936  wf 5685  1-1-ontowf1o 5688  cfv 5689  (class class class)co 6426  Basecbs 15579  +gcplusg 15652  Grpcgrp 17137  invgcminusg 17138  SymGrpcsymg 17512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-oadd 7327  df-er 7505  df-map 7622  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-4 10836  df-5 10837  df-6 10838  df-7 10839  df-8 10840  df-9 10841  df-n0 11048  df-z 11119  df-uz 11428  df-fz 12066  df-struct 15581  df-ndx 15582  df-slot 15583  df-base 15584  df-plusg 15665  df-tset 15671  df-0g 15809  df-mgm 16957  df-sgrp 16999  df-mnd 17010  df-grp 17140  df-minusg 17141  df-symg 17513
This theorem is referenced by:  mdetpmtr1  29013
  Copyright terms: Public domain W3C validator