Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  symgfcoeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgfcoeu 29973
 Description: Uniqueness property of permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
symgfcoeu.g 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝐷))
Assertion
Ref Expression
symgfcoeu ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ∃!𝑝𝐺 𝑄 = (𝑃𝑝))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑝   𝐺,𝑝   𝑃,𝑝   𝑄,𝑝   𝑉,𝑝

Proof of Theorem symgfcoeu
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . . . 6 (SymGrp‘𝐷) = (SymGrp‘𝐷)
2 symgfcoeu.g . . . . . 6 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝐷))
3 eqid 2651 . . . . . 6 (invg‘(SymGrp‘𝐷)) = (invg‘(SymGrp‘𝐷))
41, 2, 3symginv 17868 . . . . 5 (𝑃𝐺 → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) = 𝑃)
543ad2ant2 1103 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) = 𝑃)
61symggrp 17866 . . . . . 6 (𝐷𝑉 → (SymGrp‘𝐷) ∈ Grp)
763ad2ant1 1102 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (SymGrp‘𝐷) ∈ Grp)
8 simp2 1082 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → 𝑃𝐺)
92, 3grpinvcl 17514 . . . . 5 (((SymGrp‘𝐷) ∈ Grp ∧ 𝑃𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) ∈ 𝐺)
107, 8, 9syl2anc 694 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) ∈ 𝐺)
115, 10eqeltrrd 2731 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → 𝑃𝐺)
12 simp3 1083 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → 𝑄𝐺)
13 eqid 2651 . . . . 5 (+g‘(SymGrp‘𝐷)) = (+g‘(SymGrp‘𝐷))
141, 2, 13symgov 17856 . . . 4 ((𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃(+g‘(SymGrp‘𝐷))𝑄) = (𝑃𝑄))
151, 2, 13symgcl 17857 . . . 4 ((𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃(+g‘(SymGrp‘𝐷))𝑄) ∈ 𝐺)
1614, 15eqeltrrd 2731 . . 3 ((𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃𝑄) ∈ 𝐺)
1711, 12, 16syl2anc 694 . 2 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃𝑄) ∈ 𝐺)
18 coass 5692 . . . 4 ((𝑃𝑃) ∘ 𝑄) = (𝑃 ∘ (𝑃𝑄))
191, 2symgbasf1o 17849 . . . . . 6 (𝑃𝐺𝑃:𝐷1-1-onto𝐷)
20 f1ococnv2 6201 . . . . . 6 (𝑃:𝐷1-1-onto𝐷 → (𝑃𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
218, 19, 203syl 18 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
2221coeq1d 5316 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ((𝑃𝑃) ∘ 𝑄) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄))
2318, 22syl5eqr 2699 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃 ∘ (𝑃𝑄)) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄))
241, 2symgbasf1o 17849 . . . . 5 (𝑄𝐺𝑄:𝐷1-1-onto𝐷)
25 f1of 6175 . . . . 5 (𝑄:𝐷1-1-onto𝐷𝑄:𝐷𝐷)
2612, 24, 253syl 18 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → 𝑄:𝐷𝐷)
27 fcoi2 6117 . . . 4 (𝑄:𝐷𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
2826, 27syl 17 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
2923, 28eqtr2d 2686 . 2 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → 𝑄 = (𝑃 ∘ (𝑃𝑄)))
30 simpr 476 . . . . . 6 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → 𝑄 = (𝑃𝑝))
3130coeq2d 5317 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → (𝑃𝑄) = (𝑃 ∘ (𝑃𝑝)))
32 coass 5692 . . . . . . 7 ((𝑃𝑃) ∘ 𝑝) = (𝑃 ∘ (𝑃𝑝))
3332a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → ((𝑃𝑃) ∘ 𝑝) = (𝑃 ∘ (𝑃𝑝)))
34 f1ococnv1 6203 . . . . . . . . 9 (𝑃:𝐷1-1-onto𝐷 → (𝑃𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
358, 19, 343syl 18 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
3635coeq1d 5316 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ((𝑃𝑃) ∘ 𝑝) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
3736ad2antrr 762 . . . . . 6 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → ((𝑃𝑃) ∘ 𝑝) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
3833, 37eqtr3d 2687 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → (𝑃 ∘ (𝑃𝑝)) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
39 simplr 807 . . . . . . 7 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → 𝑝𝐺)
401, 2symgbasf1o 17849 . . . . . . 7 (𝑝𝐺𝑝:𝐷1-1-onto𝐷)
41 f1of 6175 . . . . . . 7 (𝑝:𝐷1-1-onto𝐷𝑝:𝐷𝐷)
4239, 40, 413syl 18 . . . . . 6 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → 𝑝:𝐷𝐷)
43 fcoi2 6117 . . . . . 6 (𝑝:𝐷𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝) = 𝑝)
4442, 43syl 17 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝) = 𝑝)
4531, 38, 443eqtrrd 2690 . . . 4 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → 𝑝 = (𝑃𝑄))
4645ex 449 . . 3 (((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑄 = (𝑃𝑝) → 𝑝 = (𝑃𝑄)))
4746ralrimiva 2995 . 2 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ∀𝑝𝐺 (𝑄 = (𝑃𝑝) → 𝑝 = (𝑃𝑄)))
48 eqidd 2652 . . . 4 (𝑝 = (𝑃𝑄) → 𝑄 = 𝑄)
49 coeq2 5313 . . . 4 (𝑝 = (𝑃𝑄) → (𝑃𝑝) = (𝑃 ∘ (𝑃𝑄)))
5048, 49eqeq12d 2666 . . 3 (𝑝 = (𝑃𝑄) → (𝑄 = (𝑃𝑝) ↔ 𝑄 = (𝑃 ∘ (𝑃𝑄))))
5150eqreu 3431 . 2 (((𝑃𝑄) ∈ 𝐺𝑄 = (𝑃 ∘ (𝑃𝑄)) ∧ ∀𝑝𝐺 (𝑄 = (𝑃𝑝) → 𝑝 = (𝑃𝑄))) → ∃!𝑝𝐺 𝑄 = (𝑃𝑝))
5217, 29, 47, 51syl3anc 1366 1 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ∃!𝑝𝐺 𝑄 = (𝑃𝑝))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃!wreu 2943   I cid 5052  ◡ccnv 5142   ↾ cres 5145   ∘ ccom 5147  ⟶wf 5922  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  Grpcgrp 17469  invgcminusg 17470  SymGrpcsymg 17843 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-tset 16007  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-symg 17844 This theorem is referenced by:  mdetpmtr1  30017
 Copyright terms: Public domain W3C validator