MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symginv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symginv 17754
Description: The group inverse in the symmetric group corresponds to the functional inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symggrp.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symginv.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
symginv.3 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
symginv (𝐹𝐵 → (𝑁𝐹) = 𝐹)

Proof of Theorem symginv
StepHypRef Expression
1 symggrp.1 . . . . . . . 8 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2 symginv.2 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
31, 2elsymgbas2 17733 . . . . . . 7 (𝐹𝐵 → (𝐹𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐴))
43ibi 256 . . . . . 6 (𝐹𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐴)
5 f1ocnv 6111 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐹:𝐴1-1-onto𝐴)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝐹𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐴)
7 cnvexg 7066 . . . . . 6 (𝐹𝐵𝐹 ∈ V)
81, 2elsymgbas2 17733 . . . . . 6 (𝐹 ∈ V → (𝐹𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐴))
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝐹𝐵 → (𝐹𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐴))
106, 9mpbird 247 . . . 4 (𝐹𝐵𝐹𝐵)
11 eqid 2621 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
121, 2, 11symgov 17742 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐹𝐵) → (𝐹(+g𝐺)𝐹) = (𝐹𝐹))
1310, 12mpdan 701 . . 3 (𝐹𝐵 → (𝐹(+g𝐺)𝐹) = (𝐹𝐹))
14 f1ococnv2 6125 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
154, 14syl 17 . . 3 (𝐹𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
161, 2elbasfv 15852 . . . 4 (𝐹𝐵𝐴 ∈ V)
171symgid 17753 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ( I ↾ 𝐴) = (0g𝐺))
1816, 17syl 17 . . 3 (𝐹𝐵 → ( I ↾ 𝐴) = (0g𝐺))
1913, 15, 183eqtrd 2659 . 2 (𝐹𝐵 → (𝐹(+g𝐺)𝐹) = (0g𝐺))
201symggrp 17752 . . . 4 (𝐴 ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
2116, 20syl 17 . . 3 (𝐹𝐵𝐺 ∈ Grp)
22 id 22 . . 3 (𝐹𝐵𝐹𝐵)
23 eqid 2621 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
24 symginv.3 . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
252, 11, 23, 24grpinvid1 17402 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵𝐹𝐵) → ((𝑁𝐹) = 𝐹 ↔ (𝐹(+g𝐺)𝐹) = (0g𝐺)))
2621, 22, 10, 25syl3anc 1323 . 2 (𝐹𝐵 → ((𝑁𝐹) = 𝐹 ↔ (𝐹(+g𝐺)𝐹) = (0g𝐺)))
2719, 26mpbird 247 1 (𝐹𝐵 → (𝑁𝐹) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3189   I cid 4989  ccnv 5078  cres 5081  ccom 5083  1-1-ontowf1o 5851  cfv 5852  (class class class)co 6610  Basecbs 15792  +gcplusg 15873  0gc0g 16032  Grpcgrp 17354  invgcminusg 17355  SymGrpcsymg 17729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-plusg 15886  df-tset 15892  df-0g 16034  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-symg 17730
This theorem is referenced by:  symgsssg  17819  symgfisg  17820  symgtrinv  17824  psgninv  19860  zrhpsgninv  19863  evpmodpmf1o  19874  mdetleib2  20326  symgtgp  21828  symgfcoeu  29654  madjusmdetlem3  29701  madjusmdetlem4  29702
  Copyright terms: Public domain W3C validator