MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symggrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symggrp 17741
Description: The symmetric group on a set 𝐴 is a group. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
symggrp.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
symggrp (𝐴𝑉𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem symggrp
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2622 . 2 (𝐴𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
2 eqidd 2622 . 2 (𝐴𝑉 → (+g𝐺) = (+g𝐺))
3 symggrp.1 . . . 4 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
4 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5 eqid 2621 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
63, 4, 5symgcl 17732 . . 3 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
763adant1 1077 . 2 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
8 coass 5613 . . . 4 ((𝑥𝑦) ∘ 𝑧) = (𝑥 ∘ (𝑦𝑧))
9 simpr1 1065 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
10 simpr2 1066 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
113, 4, 5symgov 17731 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥𝑦))
129, 10, 11syl2anc 692 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥𝑦))
1312coeq1d 5243 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∘ 𝑧) = ((𝑥𝑦) ∘ 𝑧))
14 simpr3 1067 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
153, 4, 5symgov 17731 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) = (𝑦𝑧))
1610, 14, 15syl2anc 692 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) = (𝑦𝑧))
1716coeq2d 5244 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥 ∘ (𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦𝑧)))
188, 13, 173eqtr4a 2681 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∘ 𝑧) = (𝑥 ∘ (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
199, 10, 6syl2anc 692 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
203, 4, 5symgov 17731 . . . 4 (((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∘ 𝑧))
2119, 14, 20syl2anc 692 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∘ 𝑧))
223, 4, 5symgcl 17732 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺))
2310, 14, 22syl2anc 692 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺))
243, 4, 5symgov 17731 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
259, 23, 24syl2anc 692 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
2618, 21, 253eqtr4d 2665 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)))
27 f1oi 6131 . . 3 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴
283, 4elsymgbas 17723 . . 3 (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ↔ ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴))
2927, 28mpbiri 248 . 2 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
303, 4, 5symgov 17731 . . . 4 ((( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑥) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥))
3129, 30sylan 488 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑥) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥))
323, 4elsymgbas 17723 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↔ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐴))
3332biimpa 501 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥:𝐴1-1-onto𝐴)
34 f1of 6094 . . . 4 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝑥:𝐴𝐴)
35 fcoi2 6036 . . . 4 (𝑥:𝐴𝐴 → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥) = 𝑥)
3633, 34, 353syl 18 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥) = 𝑥)
3731, 36eqtrd 2655 . 2 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑥) = 𝑥)
38 f1ocnv 6106 . . . . 5 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝑥:𝐴1-1-onto𝐴)
3938a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝑥:𝐴1-1-onto𝐴))
403, 4elsymgbas 17723 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↔ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐴))
4139, 32, 403imtr4d 283 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
4241imp 445 . 2 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
433, 4, 5symgov 17731 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑥) = (𝑥𝑥))
4442, 43sylancom 700 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑥) = (𝑥𝑥))
45 f1ococnv1 6122 . . . 4 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴 → (𝑥𝑥) = ( I ↾ 𝐴))
4633, 45syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥𝑥) = ( I ↾ 𝐴))
4744, 46eqtrd 2655 . 2 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑥) = ( I ↾ 𝐴))
481, 2, 7, 26, 29, 37, 42, 47isgrpd 17365 1 (𝐴𝑉𝐺 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987   I cid 4984  ccnv 5073  cres 5076  ccom 5078  wf 5843  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  Grpcgrp 17343  SymGrpcsymg 17718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-tset 15881  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-symg 17719
This theorem is referenced by:  symgid  17742  symginv  17743  galactghm  17744  symgga  17747  pgrpsubgsymgbi  17748  pgrpsubgsymg  17749  idressubgsymg  17751  gsumccatsymgsn  17767  symgsssg  17808  symgfisg  17809  symggen  17811  symgtrinv  17813  psgnunilem5  17835  psgnunilem2  17836  psgnuni  17840  psgneldm2  17845  psgnfitr  17858  psgnghm  19845  zrhpsgninv  19850  evpmodpmf1o  19861  mdetleib2  20313  mdetdiag  20324  mdetralt  20333  mdetunilem7  20343  symgtgp  21815  symgfcoeu  29630  madjusmdetlem3  29677  madjusmdetlem4  29678  pgrple2abl  41434
  Copyright terms: Public domain W3C validator