Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlcoat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlcoat 35488
Description: The trace of a composition of two translations is an atom if their traces are different. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcoat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlcoat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcoat.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcoat.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlcoat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem trlcoat
StepHypRef Expression
1 trlcoat.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 trlcoat.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
31, 2ltrnco 35484 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
433expb 1263 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
5 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 eqid 2621 . . . . . . 7 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7 trlcoat.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
85, 6, 1, 2, 7trlid0b 34942 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝐺) ∈ 𝑇) → ((𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝑅‘(𝐹𝐺)) = (0.‘𝐾)))
94, 8syldan 487 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝑅‘(𝐹𝐺)) = (0.‘𝐾)))
10 coass 5613 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ (𝐹𝐺))
11 simpll 789 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
12 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹𝑇)
135, 1, 2ltrn1o 34887 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
1411, 12, 13syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
15 f1ococnv1 6122 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
1716coeq1d 5243 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺))
18 coeq2 5240 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) → (𝐹 ∘ (𝐹𝐺)) = (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
1918adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹 ∘ (𝐹𝐺)) = (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
2010, 17, 193eqtr3a 2679 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
21 simplrr 800 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺𝑇)
225, 1, 2ltrn1o 34887 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
2311, 21, 22syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
24 f1of 6094 . . . . . . . . . 10 (𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
25 fcoi2 6036 . . . . . . . . . 10 (𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
271, 2ltrncnv 34909 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
2811, 12, 27syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹𝑇)
295, 1, 2ltrn1o 34887 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
3011, 28, 29syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
31 f1of 6094 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
32 fcoi1 6035 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = 𝐹)
3330, 31, 323syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = 𝐹)
3420, 26, 333eqtr3d 2663 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺 = 𝐹)
3534fveq2d 6152 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅𝐺) = (𝑅𝐹))
361, 2, 7trlcnv 34929 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
3711, 12, 36syl2anc 692 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
3835, 37eqtr2d 2656 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))
3938ex 450 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)))
409, 39sylbird 250 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑅‘(𝐹𝐺)) = (0.‘𝐾) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)))
4140necon3d 2811 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ≠ (0.‘𝐾)))
42 trlcoat.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
436, 42, 1, 2, 7trlatn0 34936 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝐺) ∈ 𝑇) → ((𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅‘(𝐹𝐺)) ≠ (0.‘𝐾)))
444, 43syldan 487 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅‘(𝐹𝐺)) ≠ (0.‘𝐾)))
4541, 44sylibrd 249 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ 𝐴))
46453impia 1258 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   I cid 4984  ccnv 5073  cres 5076  ccom 5078  wf 5843  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  Basecbs 15781  0.cp0 16958  Atomscatm 34027  HLchlt 34114  LHypclh 34747  LTrncltrn 34864  trLctrl 34922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-riotaBAD 33716
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-undef 7344  df-map 7804  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-oposet 33940  df-ol 33942  df-oml 33943  df-covers 34030  df-ats 34031  df-atl 34062  df-cvlat 34086  df-hlat 34115  df-llines 34261  df-lplanes 34262  df-lvols 34263  df-lines 34264  df-psubsp 34266  df-pmap 34267  df-padd 34559  df-lhyp 34751  df-laut 34752  df-ldil 34867  df-ltrn 34868  df-trl 34923
This theorem is referenced by:  trlcocnvat  35489  trlconid  35490  trljco  35505  cdlemh2  35581  cdlemh  35582
  Copyright terms: Public domain W3C validator