Theorem uzm1 11800

Description: Choices for an element of an upper interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
uzm1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))

Proof of Theorem uzm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 11773	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀 → 𝑀 ∈ ℤ))
3		eluzelz 11778	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		peano2zm 11501	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
6	5	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ))
7		df-ne 2865	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≠ 𝑀 ↔ ¬ 𝑁 = 𝑀)
8		eluzle 11781	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
9	1	zred 11563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
10		eluzelre 11779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
11	9, 10	ltlend 10263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀)))
12	11	biimprd 238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) → 𝑀 < 𝑁))
13	8, 12	mpand 713	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 ≠ 𝑀 → 𝑀 < 𝑁))
14	7, 13	syl5bir 233	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀 → 𝑀 < 𝑁))
15		zltlem1 11511	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
16	1, 3, 15	syl2anc 696	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
17	14, 16	sylibd 229	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀 → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
18	2, 6, 17	3jcad 1316	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))))
19		eluz2 11774	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
20	18, 19	syl6ibr 242	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
21	20	orrd 392	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1564   ∈ wcel 2071   ≠ wne 2864   class class class wbr 4728  ‘cfv 5969  (class class class)co 6733  1c1 10018   < clt 10155   ≤ cle 10156   − cmin 10347  ℤcz 11458  ℤ_≥cuz 11768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-cnex 10073  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093  ax-pre-mulgt0 10094

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-pss 3664  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-tp 4258  df-op 4260  df-uni 4513  df-iun 4598  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-tr 4829  df-id 5096  df-eprel 5101  df-po 5107  df-so 5108  df-fr 5145  df-we 5147  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-pred 5761  df-ord 5807  df-on 5808  df-lim 5809  df-suc 5810  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-om 7151  df-wrecs 7495  df-recs 7556  df-rdg 7594  df-er 7830  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-sub 10349  df-neg 10350  df-nn 11102  df-n0 11374  df-z 11459  df-uz 11769

This theorem is referenced by:  uzp1  11803  fzm1  12502  hashfzo  13297  iserex  14475  ntrivcvg  14717  ntrivcvgtail  14720