MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzm1 11662
Description: Choices for an element of an upper interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
uzm1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))

Proof of Theorem uzm1
StepHypRef Expression
1 eluzel2 11636 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
21a1d 25 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀𝑀 ∈ ℤ))
3 eluzelz 11641 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 peano2zm 11365 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
65a1d 25 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ))
7 df-ne 2797 . . . . . 6 (𝑁𝑀 ↔ ¬ 𝑁 = 𝑀)
8 eluzle 11644 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
91zred 11426 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
10 eluzelre 11642 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
119, 10ltlend 10127 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
1211biimprd 238 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀𝑁𝑁𝑀) → 𝑀 < 𝑁))
138, 12mpand 710 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁𝑀𝑀 < 𝑁))
147, 13syl5bir 233 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀𝑀 < 𝑁))
15 zltlem1 11375 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
161, 3, 15syl2anc 692 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
1714, 16sylibd 229 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
182, 6, 173jcad 1241 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))))
19 eluz2 11637 . . 3 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
2018, 19syl6ibr 242 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
2120orrd 393 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  1c1 9882   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211  cz 11322  cuz 11631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632
This theorem is referenced by:  uzp1  11665  fzm1  12358  hashfzo  13153  iserex  14316  ntrivcvg  14549  ntrivcvgtail  14552
  Copyright terms: Public domain W3C validator