MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkiswwlksupgr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkiswwlksupgr2 26744
Description: A walk as word corresponds to the sequence of vertices in a walk in a pseudograph. This variant of wlkiswwlks2 26742 does not require 𝐺 to be a simple pseudograph, but it requires the Axiom of Choice (ac6 9287) for its proof. Notice that only the existence of a function 𝑓 can be proven, but, in general, it cannot be "constructed" (as in wlkiswwlks2 26742). (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jul-2018.) (Revised by AV, 10-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
wlkiswwlksupgr2 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺   𝑃,𝑓

Proof of Theorem wlkiswwlksupgr2
Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2620 . . 3 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2620 . . 3 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 2iswwlks 26709 . 2 (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
4 edgval 25922 . . . . . . . . . . . . 13 (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
54eleq2i 2691 . . . . . . . . . . . 12 ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran (iEdg‘𝐺))
6 upgruhgr 25978 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph )
7 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
87uhgrfun 25942 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
96, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ UPGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
109adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ) → Fun (iEdg‘𝐺))
11 elrnrexdm 6349 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun (iEdg‘𝐺) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran (iEdg‘𝐺) → ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
12 eqcom 2627 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
1312rexbii 3037 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
1411, 13syl6ibr 242 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun (iEdg‘𝐺) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran (iEdg‘𝐺) → ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
1510, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran (iEdg‘𝐺) → ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
165, 15syl5bi 232 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
1716ralimdv 2960 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
1817ex 450 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ∈ UPGraph → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
1918com23 86 . . . . . . . 8 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝐺 ∈ UPGraph → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
20193impia 1259 . . . . . . 7 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐺 ∈ UPGraph → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
2120impcom 446 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
22 ovex 6663 . . . . . . 7 (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∈ V
23 fvex 6188 . . . . . . . 8 (iEdg‘𝐺) ∈ V
2423dmex 7084 . . . . . . 7 dom (iEdg‘𝐺) ∈ V
25 fveq2 6178 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑓𝑖) → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)))
2625eqeq1d 2622 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑓𝑖) → (((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
2722, 24, 26ac6 9287 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∃𝑓(𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
2821, 27syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓(𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
29 iswrdi 13292 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → 𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
3029adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → 𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
3130adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → 𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
32 wrdfin 13306 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑃 ∈ Fin)
33 hashnncl 13140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ Fin → ((#‘𝑃) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ≠ ∅))
3433bicomd 213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Fin → (𝑃 ≠ ∅ ↔ (#‘𝑃) ∈ ℕ))
3532, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 ≠ ∅ ↔ (#‘𝑃) ∈ ℕ))
3635biimpac 503 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (#‘𝑃) ∈ ℕ)
37 wrdf 13293 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶(Vtx‘𝐺))
38 nnz 11384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑃) ∈ ℕ → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
39 fzoval 12455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑃) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝑃)) = (0...((#‘𝑃) − 1)))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝑃) ∈ ℕ → (0..^(#‘𝑃)) = (0...((#‘𝑃) − 1)))
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → (0..^(#‘𝑃)) = (0...((#‘𝑃) − 1)))
42 nnm1nn0 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝑃) ∈ ℕ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0)
43 fnfzo0hash 13217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → (#‘𝑓) = ((#‘𝑃) − 1))
4442, 43sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → (#‘𝑓) = ((#‘𝑃) − 1))
4544eqcomd 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → ((#‘𝑃) − 1) = (#‘𝑓))
4645oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → (0...((#‘𝑃) − 1)) = (0...(#‘𝑓)))
4741, 46eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → (0..^(#‘𝑃)) = (0...(#‘𝑓)))
4847feq2d 6018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → (𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)))
4948biimpcd 239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶(Vtx‘𝐺) → (((#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)))
5049expd 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶(Vtx‘𝐺) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺))))
5137, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺))))
5251adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺))))
5336, 52mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)))
54533adant3 1079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)))
5554adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)))
5655com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)))
5756adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)))
5857impcom 446 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺))
59 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
6036, 44sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → (#‘𝑓) = ((#‘𝑃) − 1))
6160oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → (0..^(#‘𝑓)) = (0..^((#‘𝑃) − 1)))
6261ex 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → (0..^(#‘𝑓)) = (0..^((#‘𝑃) − 1))))
63623adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → (0..^(#‘𝑓)) = (0..^((#‘𝑃) − 1))))
6463adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → (0..^(#‘𝑓)) = (0..^((#‘𝑃) − 1))))
6564imp 445 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → (0..^(#‘𝑓)) = (0..^((#‘𝑃) − 1)))
6665adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → (0..^(#‘𝑓)) = (0..^((#‘𝑃) − 1)))
6766raleqdv 3139 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
6859, 67mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
6968anasss 678 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
7031, 58, 693jca 1240 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
7170ex 450 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → ((𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
7271eximdv 1844 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → (∃𝑓(𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
7328, 72mpd 15 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
741, 7upgriswlk 26518 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
7574adantr 481 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
7675exbidv 1848 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → (∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
7773, 76mpbird 247 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃)
7877ex 450 . 2 (𝐺 ∈ UPGraph → ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
793, 78syl5bi 232 1 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  wne 2791  wral 2909  wrex 2910  c0 3907  {cpr 4170   class class class wbr 4644  dom cdm 5104  ran crn 5105  Fun wfun 5870  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  Fincfn 7940  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924  cmin 10251  cn 11005  0cn0 11277  cz 11362  ...cfz 12311  ..^cfzo 12449  #chash 13100  Word cword 13274  Vtxcvtx 25855  iEdgciedg 25856  Edgcedg 25920   UHGraph cuhgr 25932   UPGraph cupgr 25956  Walkscwlks 26473  WWalkscwwlks 26698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-ac2 9270  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-ac 8924  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-hash 13101  df-word 13282  df-edg 25921  df-uhgr 25934  df-upgr 25958  df-wlks 26476  df-wwlks 26703
This theorem is referenced by:  wlkiswwlkupgr  26745  wlklnwwlklnupgr2  26752
  Copyright terms: Public domain W3C validator