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Theorem wwlksnextproplem3 41115
Description: Lemma 3 for wwlkextprop 26034. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wwlksnextprop.x 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺)
wwlksnextprop.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
wwlksnextprop.y 𝑌 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}
Assertion
Ref Expression
wwlksnextproplem3 ((𝑊𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ 𝑌)
Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑃   𝑤,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑤)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)

Proof of Theorem wwlksnextproplem3
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 11176 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2 iswwlksn 41039 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
4 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
54wwlkbp 41041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
6 lencl 13121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
7 eqcom 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ↔ ((𝑁 + 1) + 1) = (#‘𝑊))
8 nn0cn 11145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
98adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
10 1cnd 9908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
11 nn0cn 11145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
121, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
1312adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
14 subadd2 10132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) → (((#‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) + 1) = (#‘𝑊)))
1514bicomd 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) → (((𝑁 + 1) + 1) = (#‘𝑊) ↔ ((#‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1)))
169, 10, 13, 15syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 1) + 1) = (#‘𝑊) ↔ ((#‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1)))
177, 16syl5bb 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ↔ ((#‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1)))
18 eqcom 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((#‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1) ↔ (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))
1918biimpi 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((#‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1) → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))
2017, 19syl6bi 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1)))
2120ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))))
2221com23 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))))
236, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))))
245, 23simpl2im 655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))))
2524imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1)))
2625imp 443 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))
2726opeq2d 4337 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ⟨0, (𝑁 + 1)⟩ = ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)
2827oveq2d 6539 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩))
29 simpll 785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺))
30 nn0ge0 11161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
31 2re 10933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
33 nn0re 11144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
3432, 33addge02d 10461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (𝑁 + 2)))
3530, 34mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≤ (𝑁 + 2))
36 nn0cn 11145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
37 1cnd 9908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
3836, 37, 37addassd 9914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
39 1p1e2 10977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 + 1) = 2
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 + 1) = 2)
4140oveq2d 6539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2))
4238, 41eqtrd 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
4335, 42breqtrrd 4601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
4443adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
45 breq2 4577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑊) ↔ 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
4645ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 ≤ (#‘𝑊) ↔ 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
4744, 46mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ≤ (#‘𝑊))
4829, 47jca 552 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)))
49 wwlksm1edg 41076 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺))
5128, 50eqeltrd 2683 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺))
5251expcom 449 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺)))
533, 52sylbid 228 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺)))
5453com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺)))
5554adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺)))
5655imp 443 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺))
57 wwlksnextprop.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (Edg‘𝐺)
584, 57wwlknp 41043 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
59 simpll 785 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
60 peano2nn0 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
611, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
62 peano2re 10056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6333, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6463lep1d 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
65 elfz2nn0 12251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
661, 61, 64, 65syl3anbrc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
6766adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
68 oveq2 6531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (0...(#‘𝑊)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
6968adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...(#‘𝑊)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
7067, 69eleqtrrd 2686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
7170adantll 745 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
7259, 71jca 552 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))))
7372ex 448 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))))
74733adant3 1073 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))))
7558, 74syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))))
7675adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))))
7776imp 443 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))))
78 swrd0len 13216 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))
7977, 78syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))
8056, 79jca 552 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1)))
81 iswwlksn 41039 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))))
8281adantl 480 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))))
8380, 82mpbird 245 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺))
8483exp31 627 . . . 4 (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) → ((𝑊‘0) = 𝑃 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺))))
85 wwlksnextprop.x . . . 4 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺)
8684, 85eleq2s 2701 . . 3 (𝑊𝑋 → ((𝑊‘0) = 𝑃 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺))))
87863imp 1248 . 2 ((𝑊𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺))
8885wwlksnextproplem1 41113 . . . 4 ((𝑊𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘0))
89883adant2 1072 . . 3 ((𝑊𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘0))
90 simp2 1054 . . 3 ((𝑊𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊‘0) = 𝑃)
9189, 90eqtrd 2639 . 2 ((𝑊𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑃)
92 fveq1 6083 . . . 4 (𝑤 = (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) → (𝑤‘0) = ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0))
9392eqeq1d 2607 . . 3 (𝑤 = (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) → ((𝑤‘0) = 𝑃 ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑃))
94 wwlksnextprop.y . . 3 𝑌 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}
9593, 94elrab2 3328 . 2 ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ 𝑌 ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑃))
9687, 91, 95sylanbrc 694 1 ((𝑊𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wral 2891  {crab 2895  Vcvv 3168  {cpr 4122  cop 4126   class class class wbr 4573  cfv 5786  (class class class)co 6523  cc 9786  cr 9787  0cc0 9788  1c1 9789   + caddc 9791  cle 9927  cmin 10113  2c2 10913  0cn0 11135  ...cfz 12148  ..^cfzo 12285  #chash 12930  Word cword 13088   substr csubstr 13092  Vtxcvtx 40227  Edgcedga 40349  WWalkScwwlks 41026   WWalkSN cwwlksn 41027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-hash 12931  df-word 13096  df-substr 13100  df-wwlks 41031  df-wwlksn 41032
This theorem is referenced by:  wwlksnextprop  41116
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