Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0subm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0subm 19706
 Description: The nonnegative extended real numbers are a submonoid of the nonnegative-infinite extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrs1mnd.1 𝑅 = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
Assertion
Ref Expression
xrge0subm (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅)

Proof of Theorem xrge0subm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2 ge0nemnf 11947 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
31, 2jca 554 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞))
4 elxrge0 12223 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
5 eldifsn 4287 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞))
63, 4, 53imtr4i 281 . . 3 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
76ssriv 3587 . 2 (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
8 0e0iccpnf 12225 . 2 0 ∈ (0[,]+∞)
9 ge0xaddcl 12228 . . 3 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
109rgen2a 2971 . 2 𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞)
11 xrs1mnd.1 . . . 4 𝑅 = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
1211xrs1mnd 19703 . . 3 𝑅 ∈ Mnd
13 difss 3715 . . . . 5 (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
14 xrsbas 19681 . . . . . 6 * = (Base‘ℝ*𝑠)
1511, 14ressbas2 15852 . . . . 5 ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
1613, 15ax-mp 5 . . . 4 (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅)
1711xrs10 19704 . . . 4 0 = (0g𝑅)
18 xrex 11773 . . . . . 6 * ∈ V
19 difexg 4768 . . . . . 6 (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
21 xrsadd 19682 . . . . . 6 +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
2211, 21ressplusg 15914 . . . . 5 ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +𝑒 = (+g𝑅))
2320, 22ax-mp 5 . . . 4 +𝑒 = (+g𝑅)
2416, 17, 23issubm 17268 . . 3 (𝑅 ∈ Mnd → ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅) ↔ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))))
2512, 24ax-mp 5 . 2 ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅) ↔ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞)))
267, 8, 10, 25mpbir3an 1242 1 (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  Vcvv 3186   ∖ cdif 3552   ⊆ wss 3555  {csn 4148   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  +∞cpnf 10015  -∞cmnf 10016  ℝ*cxr 10017   ≤ cle 10019   +𝑒 cxad 11888  [,]cicc 12120  Basecbs 15781   ↾s cress 15782  +gcplusg 15862  ℝ*𝑠cxrs 16081  Mndcmnd 17215  SubMndcsubmnd 17255 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-xadd 11891  df-icc 12124  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-0g 16023  df-xrs 16083  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257 This theorem is referenced by:  xrge0cmn  19707  xrge0gsumle  22544  xrge0tsms  22545  xrge0tsmsd  29570
 Copyright terms: Public domain W3C validator