Theorem elxrge0 12220

Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elxrge0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1038	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
2		0xr 10031	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		pnfxr 10037	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		elicc1 12158	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
5	2, 3, 4	mp2an 707	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞))
6		pnfge 11908	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
8	7	pm4.71i 663	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
9	1, 5, 8	3bitr4i 292	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   ∈ wcel 1992   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  0cc0 9881  +∞cpnf 10016  ℝ^*cxr 10018   ≤ cle 10020  [,]cicc 12117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-icc 12121

This theorem is referenced by:  0e0iccpnf  12222  ge0xaddcl  12225  ge0xmulcl  12226  xnn0xrge0  12264  xrge0subm  19701  psmetxrge0  22023  isxmet2d  22037  prdsdsf  22077  prdsxmetlem  22078  comet  22223  stdbdxmet  22225  xrge0gsumle  22539  xrge0tsms  22540  metdsf  22554  metds0  22556  metdstri  22557  metdsre  22559  metdseq0  22560  metdscnlem  22561  metnrmlem1a  22564  metnrmlem1  22565  xrhmeo  22648  lebnumlem1  22663  xrge0f  23399  itg2const2  23409  itg2uba  23411  itg2mono  23421  itg2gt0  23428  itg2cnlem2  23430  itg2cn  23431  iblss  23472  itgle  23477  itgeqa  23481  ibladdlem  23487  iblabs  23496  iblabsr  23497  iblmulc2  23498  itgsplit  23503  bddmulibl  23506  xrge0addge  29358  xrge0infss  29361  xrge0addcld  29363  xrge0subcld  29364  xrge00  29463  xrge0tsmsd  29562  esummono  29889  gsumesum  29894  esumsnf  29899  esumrnmpt2  29903  esumpmono  29914  hashf2  29919  measge0  30043  measle0  30044  measssd  30051  measunl  30052  omssubaddlem  30134  omssubadd  30135  carsgsigalem  30150  pmeasmono  30159  sibfinima  30174  prob01  30248  dstrvprob  30306  itg2addnclem  33079  ibladdnclem  33084  iblabsnc  33092  iblmulc2nc  33093  bddiblnc  33098  ftc1anclem4  33106  ftc1anclem5  33107  ftc1anclem6  33108  ftc1anclem7  33109  ftc1anclem8  33110  ftc1anc  33111  xrge0ge0  39014