Theorem elxrge0 12474

Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elxrge0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1074	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
2		0xr 10278	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		pnfxr 10284	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		elicc1 12412	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
5	2, 3, 4	mp2an 710	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞))
6		pnfge 12157	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
7	6	adantr 472	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
8	7	pm4.71i 667	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
9	1, 5, 8	3bitr4i 292	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  0cc0 10128  +∞cpnf 10263  ℝ^*cxr 10265   ≤ cle 10267  [,]cicc 12371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-icc 12375

This theorem is referenced by:  0e0iccpnf  12476  ge0xaddcl  12479  ge0xmulcl  12480  xnn0xrge0  12518  xrge0subm  19989  psmetxrge0  22319  isxmet2d  22333  prdsdsf  22373  prdsxmetlem  22374  comet  22519  stdbdxmet  22521  xrge0gsumle  22837  xrge0tsms  22838  metdsf  22852  metds0  22854  metdstri  22855  metdsre  22857  metdseq0  22858  metdscnlem  22859  metnrmlem1a  22862  metnrmlem1  22863  xrhmeo  22946  lebnumlem1  22961  xrge0f  23697  itg2const2  23707  itg2uba  23709  itg2mono  23719  itg2gt0  23726  itg2cnlem2  23728  itg2cn  23729  iblss  23770  itgle  23775  itgeqa  23779  ibladdlem  23785  iblabs  23794  iblabsr  23795  iblmulc2  23796  itgsplit  23801  bddmulibl  23804  xrge0addge  29831  xrge0infss  29834  xrge0addcld  29836  xrge0subcld  29837  xrge00  29995  xrge0tsmsd  30094  esummono  30425  gsumesum  30430  esumsnf  30435  esumrnmpt2  30439  esumpmono  30450  hashf2  30455  measge0  30579  measle0  30580  measssd  30587  measunl  30588  omssubaddlem  30670  omssubadd  30671  carsgsigalem  30686  pmeasmono  30695  sibfinima  30710  prob01  30784  dstrvprob  30842  itg2addnclem  33774  ibladdnclem  33779  iblabsnc  33787  iblmulc2nc  33788  bddiblnc  33793  ftc1anclem4  33801  ftc1anclem5  33802  ftc1anclem6  33803  ftc1anclem7  33804  ftc1anclem8  33805  ftc1anc  33806  xrge0ge0  40061