Theorem zlmsca 20042

Description: Scalar ring of a ℤ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmsca	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ℤring = (Scalar‘𝑊))

Proof of Theorem zlmsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaid 16187	. . 3 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
2		5re 11262	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
3		5lt6 11367	. . . . 5 ⊢ 5 < 6
4	2, 3	ltneii 10313	. . . 4 ⊢ 5 ≠ 6
5		scandx 16186	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
6		vscandx 16188	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
7	5, 6	neeq12i 2986	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 5 ≠ 6)
8	4, 7	mpbir 221	. . 3 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
9	1, 8	setsnid 16088	. 2 ⊢ (Scalar‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (Scalar‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
10		zringring 19994	. . 3 ⊢ ℤring ∈ Ring
11	1	setsid 16087	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ℤring ∈ Ring) → ℤring = (Scalar‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)))
12	10, 11	mpan2 709	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ℤring = (Scalar‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)))
13		zlmbas.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
14		eqid 2748	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
15	13, 14	zlmval 20037	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
16	15	fveq2d 6344	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
17	9, 12, 16	3eqtr4a 2808	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ℤring = (Scalar‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ≠ wne 2920  ⟨cop 4315  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  5c5 11236  6c6 11237  ndxcnx 16027   sSet csts 16028  Scalarcsca 16117   ·_𝑠 cvsca 16118  ._gcmg 17712  Ringcrg 18718  ℤ_ringzring 19991  ℤModczlm 20022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-addf 10178  ax-mulf 10179

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-fz 12491  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-starv 16129  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-unif 16138  df-0g 16275  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-subg 17763  df-cmn 18366  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720  df-cring 18721  df-subrg 18951  df-cnfld 19920  df-zring 19992  df-zlm 20026

This theorem is referenced by:  zlmlmod  20044  zlmassa  20045  zlmclm  23083  nmmulg  30292  cnzh  30294  rezh  30295