Theorem 0nelrel 4772

Description: A binary relation does not contain the empty set. (Contributed by AV, 15-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0nelrel	|- ( Rel R -> (/) e/ R )

Proof of Theorem 0nelrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rel 4732	. . . 4 |- ( Rel R <-> R C_ ( _V X. _V ) )
2	1	biimpi 120	. . 3 |- ( Rel R -> R C_ ( _V X. _V ) )
3		0nelxp 4753	. . . 4 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( Rel R -> -. (/) e. ( _V X. _V ) )
5	2, 4	ssneldd 3230	. 2 |- ( Rel R -> -. (/) e. R )
6		df-nel 2498	. 2 |- ( (/) e/ R <-> -. (/) e. R )
7	5, 6	sylibr 134	1 |- ( Rel R -> (/) e/ R )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 2202   e/ wnel 2497   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   (/)c0 3494   X. cxp 4723   Rel wrel 4730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-opab 4151  df-xp 4731  df-rel 4732

This theorem is referenced by:  0nelfun  5344