Theorem 0nelrel 4721

Description: A binary relation does not contain the empty set. (Contributed by AV, 15-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0nelrel	|- ( Rel R -> (/) e/ R )

Proof of Theorem 0nelrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rel 4682	. . . 4 |- ( Rel R <-> R C_ ( _V X. _V ) )
2	1	biimpi 120	. . 3 |- ( Rel R -> R C_ ( _V X. _V ) )
3		0nelxp 4703	. . . 4 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( Rel R -> -. (/) e. ( _V X. _V ) )
5	2, 4	ssneldd 3196	. 2 |- ( Rel R -> -. (/) e. R )
6		df-nel 2472	. 2 |- ( (/) e/ R <-> -. (/) e. R )
7	5, 6	sylibr 134	1 |- ( Rel R -> (/) e/ R )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 2176   e/ wnel 2471   _Vcvv 2772   C_ wss 3166   (/)c0 3460   X. cxp 4673   Rel wrel 4680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-opab 4106  df-xp 4681  df-rel 4682

This theorem is referenced by:  0nelfun  5289