Theorem 0nelrel 4650

Description: A binary relation does not contain the empty set. (Contributed by AV, 15-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0nelrel	|- ( Rel R -> (/) e/ R )

Proof of Theorem 0nelrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rel 4611	. . . 4 |- ( Rel R <-> R C_ ( _V X. _V ) )
2	1	biimpi 119	. . 3 |- ( Rel R -> R C_ ( _V X. _V ) )
3		0nelxp 4632	. . . 4 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( Rel R -> -. (/) e. ( _V X. _V ) )
5	2, 4	ssneldd 3145	. 2 |- ( Rel R -> -. (/) e. R )
6		df-nel 2432	. 2 |- ( (/) e/ R <-> -. (/) e. R )
7	5, 6	sylibr 133	1 |- ( Rel R -> (/) e/ R )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 2136   e/ wnel 2431   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   (/)c0 3409   X. cxp 4602   Rel wrel 4609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-opab 4044  df-xp 4610  df-rel 4611

This theorem is referenced by:  0nelfun  5206