Theorem 0nelrel 4625

Description: A binary relation does not contain the empty set. (Contributed by AV, 15-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0nelrel	|- ( Rel R -> (/) e/ R )

Proof of Theorem 0nelrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rel 4586	. . . 4 |- ( Rel R <-> R C_ ( _V X. _V ) )
2	1	biimpi 119	. . 3 |- ( Rel R -> R C_ ( _V X. _V ) )
3		0nelxp 4607	. . . 4 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( Rel R -> -. (/) e. ( _V X. _V ) )
5	2, 4	ssneldd 3127	. 2 |- ( Rel R -> -. (/) e. R )
6		df-nel 2420	. 2 |- ( (/) e/ R <-> -. (/) e. R )
7	5, 6	sylibr 133	1 |- ( Rel R -> (/) e/ R )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 2125   e/ wnel 2419   _Vcvv 2709   C_ wss 3098   (/)c0 3390   X. cxp 4577   Rel wrel 4584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-v 2711  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-opab 4022  df-xp 4585  df-rel 4586

This theorem is referenced by:  0nelfun  5181