Theorem 0nelrel 4765

Description: A binary relation does not contain the empty set. (Contributed by AV, 15-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0nelrel	|- ( Rel R -> (/) e/ R )

Proof of Theorem 0nelrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rel 4726	. . . 4 |- ( Rel R <-> R C_ ( _V X. _V ) )
2	1	biimpi 120	. . 3 |- ( Rel R -> R C_ ( _V X. _V ) )
3		0nelxp 4747	. . . 4 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( Rel R -> -. (/) e. ( _V X. _V ) )
5	2, 4	ssneldd 3227	. 2 |- ( Rel R -> -. (/) e. R )
6		df-nel 2496	. 2 |- ( (/) e/ R <-> -. (/) e. R )
7	5, 6	sylibr 134	1 |- ( Rel R -> (/) e/ R )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 2200   e/ wnel 2495   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   (/)c0 3491   X. cxp 4717   Rel wrel 4724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-opab 4146  df-xp 4725  df-rel 4726

This theorem is referenced by:  0nelfun  5336