Theorem 0nelxp 4753

Description: The empty set is not a member of a cross product. (Contributed by NM, 2-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0nelxp	|- -. (/) e. ( A X. B )

Proof of Theorem 0nelxp

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2805	. . . . . 6 |- x e. _V
2		vex 2805	. . . . . 6 |- y e. _V
3	1, 2	opnzi 4327	. . . . 5 |- <. x , y >. =/= (/)
4		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> (/) = <. x , y >. )
5	4	eqcomd 2237	. . . . . 6 |- ( ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> <. x , y >. = (/) )
6	5	necon3ai 2451	. . . . 5 |- ( <. x , y >. =/= (/) -> -. ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
7	3, 6	ax-mp 5	. . . 4 |- -. ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) )
8	7	nex 1548	. . 3 |- -. E. y ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) )
9	8	nex 1548	. 2 |- -. E. x E. y ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) )
10		elxp 4742	. 2 |- ( (/) e. ( A X. B ) <-> E. x E. y ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
11	9, 10	mtbir 677	1 |- -. (/) e. ( A X. B )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   =/= wne 2402   (/)c0 3494   <.cop 3672   X. cxp 4723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-opab 4151  df-xp 4731

This theorem is referenced by:  0nelrel  4772  dmsn0  5204  nfunv  5359  reldmtpos  6418  dmtpos  6421  0ncn  8050  structcnvcnv  13097  vtxval0  15903  iedgval0  15904