Theorem 0nelxp 4747

Description: The empty set is not a member of a cross product. (Contributed by NM, 2-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0nelxp	|- -. (/) e. ( A X. B )

Proof of Theorem 0nelxp

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2802	. . . . . 6 |- x e. _V
2		vex 2802	. . . . . 6 |- y e. _V
3	1, 2	opnzi 4321	. . . . 5 |- <. x , y >. =/= (/)
4		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> (/) = <. x , y >. )
5	4	eqcomd 2235	. . . . . 6 |- ( ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> <. x , y >. = (/) )
6	5	necon3ai 2449	. . . . 5 |- ( <. x , y >. =/= (/) -> -. ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
7	3, 6	ax-mp 5	. . . 4 |- -. ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) )
8	7	nex 1546	. . 3 |- -. E. y ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) )
9	8	nex 1546	. 2 |- -. E. x E. y ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) )
10		elxp 4736	. 2 |- ( (/) e. ( A X. B ) <-> E. x E. y ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
11	9, 10	mtbir 675	1 |- -. (/) e. ( A X. B )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   =/= wne 2400   (/)c0 3491   <.cop 3669   X. cxp 4717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-opab 4146  df-xp 4725

This theorem is referenced by:  0nelrel  4765  dmsn0  5196  nfunv  5351  reldmtpos  6399  dmtpos  6402  0ncn  8018  structcnvcnv  13048  vtxval0  15854  iedgval0  15855