Theorem 0nelxp 4782

Description: The empty set is not a member of a cross product. (Contributed by NM, 2-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0nelxp	|- -. (/) e. ( A X. B )

Proof of Theorem 0nelxp

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2818	. . . . . 6 |- x e. _V
2		vex 2818	. . . . . 6 |- y e. _V
3	1, 2	opnzi 4356	. . . . 5 |- <. x , y >. =/= (/)
4		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> (/) = <. x , y >. )
5	4	eqcomd 2240	. . . . . 6 |- ( ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> <. x , y >. = (/) )
6	5	necon3ai 2463	. . . . 5 |- ( <. x , y >. =/= (/) -> -. ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
7	3, 6	ax-mp 5	. . . 4 |- -. ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) )
8	7	nex 1549	. . 3 |- -. E. y ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) )
9	8	nex 1549	. 2 |- -. E. x E. y ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) )
10		elxp 4771	. 2 |- ( (/) e. ( A X. B ) <-> E. x E. y ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
11	9, 10	mtbir 678	1 |- -. (/) e. ( A X. B )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   =/= wne 2414   (/)c0 3512   <.cop 3697   X. cxp 4752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-opab 4177  df-xp 4760

This theorem is referenced by:  0nelrel  4801  dmsn0  5235  nfunv  5390  reldmtpos  6497  dmtpos  6500  0ncn  8162  structcnvcnv  13312  vtxval0  16174  iedgval0  16175