Theorem 0nelxp 4703

Description: The empty set is not a member of a cross product. (Contributed by NM, 2-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0nelxp	|- -. (/) e. ( A X. B )

Proof of Theorem 0nelxp

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2775	. . . . . 6 |- x e. _V
2		vex 2775	. . . . . 6 |- y e. _V
3	1, 2	opnzi 4279	. . . . 5 |- <. x , y >. =/= (/)
4		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> (/) = <. x , y >. )
5	4	eqcomd 2211	. . . . . 6 |- ( ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> <. x , y >. = (/) )
6	5	necon3ai 2425	. . . . 5 |- ( <. x , y >. =/= (/) -> -. ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
7	3, 6	ax-mp 5	. . . 4 |- -. ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) )
8	7	nex 1523	. . 3 |- -. E. y ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) )
9	8	nex 1523	. 2 |- -. E. x E. y ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) )
10		elxp 4692	. 2 |- ( (/) e. ( A X. B ) <-> E. x E. y ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
11	9, 10	mtbir 673	1 |- -. (/) e. ( A X. B )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   =/= wne 2376   (/)c0 3460   <.cop 3636   X. cxp 4673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-opab 4106  df-xp 4681

This theorem is referenced by:  0nelrel  4721  dmsn0  5150  nfunv  5304  reldmtpos  6339  dmtpos  6342  0ncn  7944  structcnvcnv  12848  vtxval0  15648  iedgval0  15649