Theorem 0nelrel 4687

Description: A binary relation does not contain the empty set. (Contributed by AV, 15-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0nelrel	⊢ (Rel 𝑅 → ∅ ∉ 𝑅)

Proof of Theorem 0nelrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rel 4648	. . . 4 ⊢ (Rel 𝑅 ↔ 𝑅 ⊆ (V × V))
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 → 𝑅 ⊆ (V × V))
3		0nelxp 4669	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ (V × V)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 → ¬ ∅ ∈ (V × V))
5	2, 4	ssneldd 3173	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → ¬ ∅ ∈ 𝑅)
6		df-nel 2456	. 2 ⊢ (∅ ∉ 𝑅 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝑅)
7	5, 6	sylibr 134	1 ⊢ (Rel 𝑅 → ∅ ∉ 𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2160   ∉ wnel 2455  Vcvv 2752   ⊆ wss 3144  ∅c0 3437   × cxp 4639  Rel wrel 4646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-opab 4080  df-xp 4647  df-rel 4648

This theorem is referenced by:  0nelfun  5249