Theorem 0nelrel 4650

Description: A binary relation does not contain the empty set. (Contributed by AV, 15-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0nelrel	⊢ (Rel 𝑅 → ∅ ∉ 𝑅)

Proof of Theorem 0nelrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rel 4611	. . . 4 ⊢ (Rel 𝑅 ↔ 𝑅 ⊆ (V × V))
2	1	biimpi 119	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 → 𝑅 ⊆ (V × V))
3		0nelxp 4632	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ (V × V)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 → ¬ ∅ ∈ (V × V))
5	2, 4	ssneldd 3145	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → ¬ ∅ ∈ 𝑅)
6		df-nel 2432	. 2 ⊢ (∅ ∉ 𝑅 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝑅)
7	5, 6	sylibr 133	1 ⊢ (Rel 𝑅 → ∅ ∉ 𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2136   ∉ wnel 2431  Vcvv 2726   ⊆ wss 3116  ∅c0 3409   × cxp 4602  Rel wrel 4609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-opab 4044  df-xp 4610  df-rel 4611

This theorem is referenced by:  0nelfun  5206