Theorem 0nelrel 4770

Description: A binary relation does not contain the empty set. (Contributed by AV, 15-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0nelrel	⊢ (Rel 𝑅 → ∅ ∉ 𝑅)

Proof of Theorem 0nelrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rel 4730	. . . 4 ⊢ (Rel 𝑅 ↔ 𝑅 ⊆ (V × V))
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 → 𝑅 ⊆ (V × V))
3		0nelxp 4751	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ (V × V)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 → ¬ ∅ ∈ (V × V))
5	2, 4	ssneldd 3228	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → ¬ ∅ ∈ 𝑅)
6		df-nel 2496	. 2 ⊢ (∅ ∉ 𝑅 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝑅)
7	5, 6	sylibr 134	1 ⊢ (Rel 𝑅 → ∅ ∉ 𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2200   ∉ wnel 2495  Vcvv 2800   ⊆ wss 3198  ∅c0 3492   × cxp 4721  Rel wrel 4728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-opab 4149  df-xp 4729  df-rel 4730

This theorem is referenced by:  0nelfun  5342