Theorem 0nelrel 4729

Description: A binary relation does not contain the empty set. (Contributed by AV, 15-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0nelrel	⊢ (Rel 𝑅 → ∅ ∉ 𝑅)

Proof of Theorem 0nelrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rel 4690	. . . 4 ⊢ (Rel 𝑅 ↔ 𝑅 ⊆ (V × V))
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 → 𝑅 ⊆ (V × V))
3		0nelxp 4711	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ (V × V)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 → ¬ ∅ ∈ (V × V))
5	2, 4	ssneldd 3200	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → ¬ ∅ ∈ 𝑅)
6		df-nel 2473	. 2 ⊢ (∅ ∉ 𝑅 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝑅)
7	5, 6	sylibr 134	1 ⊢ (Rel 𝑅 → ∅ ∉ 𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2177   ∉ wnel 2472  Vcvv 2773   ⊆ wss 3170  ∅c0 3464   × cxp 4681  Rel wrel 4688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-opab 4114  df-xp 4689  df-rel 4690

This theorem is referenced by:  0nelfun  5298