Theorem bj-sucexg 13804

Description: sucexg 4475 from bounded separation. (Contributed by BJ, 13-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-sucexg	|- ( A e. V -> suc A e. _V )

Proof of Theorem bj-sucexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-snexg 13794	. . . 4 |- ( A e. V -> { A } e. _V )
2	1	pm4.71i 389	. . 3 |- ( A e. V <-> ( A e. V /\ { A } e. _V ) )
3	2	biimpi 119	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. V /\ { A } e. _V ) )
4		bj-unexg 13803	. 2 |- ( ( A e. V /\ { A } e. _V ) -> ( A u. { A } ) e. _V )
5		df-suc 4349	. . . 4 |- suc A = ( A u. { A } )
6	5	eleq1i 2232	. . 3 |- ( suc A e. _V <-> ( A u. { A } ) e. _V )
7	6	biimpri 132	. 2 |- ( ( A u. { A } ) e. _V -> suc A e. _V )
8	3, 4, 7	3syl 17	1 |- ( A e. V -> suc A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   u. cun 3114   {csn 3576   suc csuc 4343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-bd0 13695  ax-bdor 13698  ax-bdex 13701  ax-bdeq 13702  ax-bdel 13703  ax-bdsb 13704  ax-bdsep 13766

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-suc 4349  df-bdc 13723

This theorem is referenced by:  bj-sucex  13805