Theorem bj-sucexg 15414

Description: sucexg 4530 from bounded separation. (Contributed by BJ, 13-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-sucexg	|- ( A e. V -> suc A e. _V )

Proof of Theorem bj-sucexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-snexg 15404	. . . 4 |- ( A e. V -> { A } e. _V )
2	1	pm4.71i 391	. . 3 |- ( A e. V <-> ( A e. V /\ { A } e. _V ) )
3	2	biimpi 120	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. V /\ { A } e. _V ) )
4		bj-unexg 15413	. 2 |- ( ( A e. V /\ { A } e. _V ) -> ( A u. { A } ) e. _V )
5		df-suc 4402	. . . 4 |- suc A = ( A u. { A } )
6	5	eleq1i 2259	. . 3 |- ( suc A e. _V <-> ( A u. { A } ) e. _V )
7	6	biimpri 133	. 2 |- ( ( A u. { A } ) e. _V -> suc A e. _V )
8	3, 4, 7	3syl 17	1 |- ( A e. V -> suc A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   u. cun 3151   {csn 3618   suc csuc 4396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-bd0 15305  ax-bdor 15308  ax-bdex 15311  ax-bdeq 15312  ax-bdel 15313  ax-bdsb 15314  ax-bdsep 15376

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-suc 4402  df-bdc 15333

This theorem is referenced by:  bj-sucex  15415