Theorem bj-sucexg 11470

Description: sucexg 4305 from bounded separation. (Contributed by BJ, 13-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-sucexg	|- ( A e. V -> suc A e. _V )

Proof of Theorem bj-sucexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-snexg 11460	. . . 4 |- ( A e. V -> { A } e. _V )
2	1	pm4.71i 383	. . 3 |- ( A e. V <-> ( A e. V /\ { A } e. _V ) )
3	2	biimpi 118	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. V /\ { A } e. _V ) )
4		bj-unexg 11469	. 2 |- ( ( A e. V /\ { A } e. _V ) -> ( A u. { A } ) e. _V )
5		df-suc 4189	. . . 4 |- suc A = ( A u. { A } )
6	5	eleq1i 2153	. . 3 |- ( suc A e. _V <-> ( A u. { A } ) e. _V )
7	6	biimpri 131	. 2 |- ( ( A u. { A } ) e. _V -> suc A e. _V )
8	3, 4, 7	3syl 17	1 |- ( A e. V -> suc A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1438   _Vcvv 2619   u. cun 2995   {csn 3441   suc csuc 4183

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-bd0 11361  ax-bdor 11364  ax-bdex 11367  ax-bdeq 11368  ax-bdel 11369  ax-bdsb 11370  ax-bdsep 11432

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-sn 3447  df-pr 3448  df-uni 3649  df-suc 4189  df-bdc 11389

This theorem is referenced by:  bj-sucex  11471