Theorem bj-unexg 16056

Description: unexg 4508 from bounded separation. (Contributed by BJ, 13-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-unexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )

Proof of Theorem bj-unexg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq1 3328	. . 3 |- ( x = A -> ( x u. y ) = ( A u. y ) )
2		eleq1 2270	. . 3 |- ( ( x u. y ) = ( A u. y ) -> ( ( x u. y ) e. _V <-> ( A u. y ) e. _V ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( x = A -> ( ( x u. y ) e. _V <-> ( A u. y ) e. _V ) )
4		uneq2 3329	. . 3 |- ( y = B -> ( A u. y ) = ( A u. B ) )
5		eleq1 2270	. . 3 |- ( ( A u. y ) = ( A u. B ) -> ( ( A u. y ) e. _V <-> ( A u. B ) e. _V ) )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( y = B -> ( ( A u. y ) e. _V <-> ( A u. B ) e. _V ) )
7		vex 2779	. . 3 |- x e. _V
8		vex 2779	. . 3 |- y e. _V
9	7, 8	bj-unex 16054	. 2 |- ( x u. y ) e. _V
10	3, 6, 9	vtocl2g 2842	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   u. cun 3172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-bd0 15948  ax-bdor 15951  ax-bdex 15954  ax-bdeq 15955  ax-bdel 15956  ax-bdsb 15957  ax-bdsep 16019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-sn 3649  df-pr 3650  df-uni 3865  df-bdc 15976

This theorem is referenced by:  bj-sucexg  16057