Theorem bj-unexg 11153

Description: unexg 4231 from bounded separation. (Contributed by BJ, 13-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-unexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )

Proof of Theorem bj-unexg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq1 3131	. . 3 |- ( x = A -> ( x u. y ) = ( A u. y ) )
2		eleq1 2145	. . 3 |- ( ( x u. y ) = ( A u. y ) -> ( ( x u. y ) e. _V <-> ( A u. y ) e. _V ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( x = A -> ( ( x u. y ) e. _V <-> ( A u. y ) e. _V ) )
4		uneq2 3132	. . 3 |- ( y = B -> ( A u. y ) = ( A u. B ) )
5		eleq1 2145	. . 3 |- ( ( A u. y ) = ( A u. B ) -> ( ( A u. y ) e. _V <-> ( A u. B ) e. _V ) )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( y = B -> ( ( A u. y ) e. _V <-> ( A u. B ) e. _V ) )
7		vex 2615	. . 3 |- x e. _V
8		vex 2615	. . 3 |- y e. _V
9	7, 8	bj-unex 11151	. 2 |- ( x u. y ) e. _V
10	3, 6, 9	vtocl2g 2673	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1285   e. wcel 1434   _Vcvv 2612   u. cun 2982

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-bd0 11045  ax-bdor 11048  ax-bdex 11051  ax-bdeq 11052  ax-bdel 11053  ax-bdsb 11054  ax-bdsep 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-rex 2359  df-v 2614  df-un 2988  df-sn 3428  df-pr 3429  df-uni 3628  df-bdc 11073

This theorem is referenced by:  bj-sucexg  11154