Theorem bj-unexg 11469

Description: unexg 4259 from bounded separation. (Contributed by BJ, 13-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-unexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )

Proof of Theorem bj-unexg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq1 3145	. . 3 |- ( x = A -> ( x u. y ) = ( A u. y ) )
2		eleq1 2150	. . 3 |- ( ( x u. y ) = ( A u. y ) -> ( ( x u. y ) e. _V <-> ( A u. y ) e. _V ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( x = A -> ( ( x u. y ) e. _V <-> ( A u. y ) e. _V ) )
4		uneq2 3146	. . 3 |- ( y = B -> ( A u. y ) = ( A u. B ) )
5		eleq1 2150	. . 3 |- ( ( A u. y ) = ( A u. B ) -> ( ( A u. y ) e. _V <-> ( A u. B ) e. _V ) )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( y = B -> ( ( A u. y ) e. _V <-> ( A u. B ) e. _V ) )
7		vex 2622	. . 3 |- x e. _V
8		vex 2622	. . 3 |- y e. _V
9	7, 8	bj-unex 11467	. 2 |- ( x u. y ) e. _V
10	3, 6, 9	vtocl2g 2683	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1289   e. wcel 1438   _Vcvv 2619   u. cun 2995

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-bd0 11361  ax-bdor 11364  ax-bdex 11367  ax-bdeq 11368  ax-bdel 11369  ax-bdsb 11370  ax-bdsep 11432

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-sn 3447  df-pr 3448  df-uni 3649  df-bdc 11389

This theorem is referenced by:  bj-sucexg  11470