Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-unexg Unicode version

Theorem bj-unexg 11153
Description: unexg 4231 from bounded separation. (Contributed by BJ, 13-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-unexg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )

Proof of Theorem bj-unexg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uneq1 3131 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
x  u.  y )  =  ( A  u.  y ) )
2 eleq1 2145 . . 3  |-  ( ( x  u.  y )  =  ( A  u.  y )  ->  (
( x  u.  y
)  e.  _V  <->  ( A  u.  y )  e.  _V ) )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  u.  y
)  e.  _V  <->  ( A  u.  y )  e.  _V ) )
4 uneq2 3132 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  ( A  u.  y )  =  ( A  u.  B ) )
5 eleq1 2145 . . 3  |-  ( ( A  u.  y )  =  ( A  u.  B )  ->  (
( A  u.  y
)  e.  _V  <->  ( A  u.  B )  e.  _V ) )
64, 5syl 14 . 2  |-  ( y  =  B  ->  (
( A  u.  y
)  e.  _V  <->  ( A  u.  B )  e.  _V ) )
7 vex 2615 . . 3  |-  x  e. 
_V
8 vex 2615 . . 3  |-  y  e. 
_V
97, 8bj-unex 11151 . 2  |-  ( x  u.  y )  e. 
_V
103, 6, 9vtocl2g 2673 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   _Vcvv 2612    u. cun 2982
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-bd0 11045  ax-bdor 11048  ax-bdex 11051  ax-bdeq 11052  ax-bdel 11053  ax-bdsb 11054  ax-bdsep 11116
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-rex 2359  df-v 2614  df-un 2988  df-sn 3428  df-pr 3429  df-uni 3628  df-bdc 11073
This theorem is referenced by:  bj-sucexg  11154
  Copyright terms: Public domain W3C validator