Theorem bj-sucexg 14814

Description: sucexg 4499 from bounded separation. (Contributed by BJ, 13-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-sucexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → suc 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem bj-sucexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-snexg 14804	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)
2	1	pm4.71i 391	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 ↔ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ {𝐴} ∈ V))
3	2	biimpi 120	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ {𝐴} ∈ V))
4		bj-unexg 14813	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ {𝐴} ∈ V) → (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
5		df-suc 4373	. . . 4 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
6	5	eleq1i 2243	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
7	6	biimpri 133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V → suc 𝐴 ∈ V)
8	3, 4, 7	3syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → suc 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739   ∪ cun 3129  {csn 3594  suc csuc 4367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-bd0 14705  ax-bdor 14708  ax-bdex 14711  ax-bdeq 14712  ax-bdel 14713  ax-bdsb 14714  ax-bdsep 14776

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-sn 3600  df-pr 3601  df-uni 3812  df-suc 4373  df-bdc 14733

This theorem is referenced by:  bj-sucex  14815