Theorem bj-sucexg 16692

Description: sucexg 4620 from bounded separation. (Contributed by BJ, 13-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-sucexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → suc 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem bj-sucexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-snexg 16682	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)
2	1	pm4.71i 391	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 ↔ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ {𝐴} ∈ V))
3	2	biimpi 120	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ {𝐴} ∈ V))
4		bj-unexg 16691	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ {𝐴} ∈ V) → (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
5		df-suc 4492	. . . 4 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
6	5	eleq1i 2298	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
7	6	biimpri 133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V → suc 𝐴 ∈ V)
8	3, 4, 7	3syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → suc 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813   ∪ cun 3209  {csn 3689  suc csuc 4486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-bd0 16583  ax-bdor 16586  ax-bdex 16589  ax-bdeq 16590  ax-bdel 16591  ax-bdsb 16592  ax-bdsep 16654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-sn 3695  df-pr 3696  df-uni 3915  df-suc 4492  df-bdc 16611

This theorem is referenced by:  bj-sucex  16693