Theorem bj-sucexg 13120

Description: sucexg 4414 from bounded separation. (Contributed by BJ, 13-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-sucexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → suc 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem bj-sucexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-snexg 13110	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)
2	1	pm4.71i 388	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 ↔ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ {𝐴} ∈ V))
3	2	biimpi 119	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ {𝐴} ∈ V))
4		bj-unexg 13119	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ {𝐴} ∈ V) → (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
5		df-suc 4293	. . . 4 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
6	5	eleq1i 2205	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
7	6	biimpri 132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V → suc 𝐴 ∈ V)
8	3, 4, 7	3syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → suc 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   ∪ cun 3069  {csn 3527  suc csuc 4287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-bd0 13011  ax-bdor 13014  ax-bdex 13017  ax-bdeq 13018  ax-bdel 13019  ax-bdsb 13020  ax-bdsep 13082

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-suc 4293  df-bdc 13039

This theorem is referenced by:  bj-sucex  13121