Theorem bm2.5ii 4313

Description: Problem 2.5(ii) of [BellMachover] p. 471. (Contributed by NM, 20-Sep-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
bm2.5ii.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
bm2.5ii	|- ( A C_ On -> U. A = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x } )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem bm2.5ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bm2.5ii.1	. . 3 |- A e. _V
2	1	ssonunii 4306	. 2 |- ( A C_ On -> U. A e. On )
3		unissb 3683	. . . . . 6 |- ( U. A C_ x <-> A. y e. A y C_ x )
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ( x e. On -> ( U. A C_ x <-> A. y e. A y C_ x ) )
5	4	rabbiia 2604	. . . 4 |- { x e. On | U. A C_ x } = { x e. On | A. y e. A y C_ x }
6	5	inteqi 3692	. . 3 |- |^| { x e. On | U. A C_ x } = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x }
7		intmin 3708	. . 3 |- ( U. A e. On -> |^| { x e. On | U. A C_ x } = U. A )
8	6, 7	syl5reqr 2135	. 2 |- ( U. A e. On -> U. A = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x } )
9	2, 8	syl 14	1 |- ( A C_ On -> U. A = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   = wceq 1289   e. wcel 1438   A.wral 2359   {crab 2363   _Vcvv 2619   C_ wss 2999   U.cuni 3653   |^|cint 3688   Oncon0 4190

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-un 4260

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-in 3005  df-ss 3012  df-uni 3654  df-int 3689  df-tr 3937  df-iord 4193  df-on 4195

This theorem is referenced by: (None)