Theorem bm2.5ii 4507

Description: Problem 2.5(ii) of [BellMachover] p. 471. (Contributed by NM, 20-Sep-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
bm2.5ii.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
bm2.5ii	|- ( A C_ On -> U. A = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x } )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem bm2.5ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bm2.5ii.1	. . 3 |- A e. _V
2	1	ssonunii 4500	. 2 |- ( A C_ On -> U. A e. On )
3		intmin 3876	. . 3 |- ( U. A e. On -> |^| { x e. On | U. A C_ x } = U. A )
4		unissb 3851	. . . . . 6 |- ( U. A C_ x <-> A. y e. A y C_ x )
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( x e. On -> ( U. A C_ x <-> A. y e. A y C_ x ) )
6	5	rabbiia 2734	. . . 4 |- { x e. On | U. A C_ x } = { x e. On | A. y e. A y C_ x }
7	6	inteqi 3860	. . 3 |- |^| { x e. On | U. A C_ x } = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x }
8	3, 7	eqtr3di 2235	. 2 |- ( U. A e. On -> U. A = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x } )
9	2, 8	syl 14	1 |- ( A C_ On -> U. A = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1363   e. wcel 2158   A.wral 2465   {crab 2469   _Vcvv 2749   C_ wss 3141   U.cuni 3821   |^|cint 3856   Oncon0 4375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-un 4445

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-in 3147  df-ss 3154  df-uni 3822  df-int 3857  df-tr 4114  df-iord 4378  df-on 4380

This theorem is referenced by: (None)