Theorem bm2.5ii 4420

Description: Problem 2.5(ii) of [BellMachover] p. 471. (Contributed by NM, 20-Sep-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
bm2.5ii.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
bm2.5ii	|- ( A C_ On -> U. A = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x } )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem bm2.5ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bm2.5ii.1	. . 3 |- A e. _V
2	1	ssonunii 4413	. 2 |- ( A C_ On -> U. A e. On )
3		unissb 3774	. . . . . 6 |- ( U. A C_ x <-> A. y e. A y C_ x )
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ( x e. On -> ( U. A C_ x <-> A. y e. A y C_ x ) )
5	4	rabbiia 2674	. . . 4 |- { x e. On | U. A C_ x } = { x e. On | A. y e. A y C_ x }
6	5	inteqi 3783	. . 3 |- |^| { x e. On | U. A C_ x } = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x }
7		intmin 3799	. . 3 |- ( U. A e. On -> |^| { x e. On | U. A C_ x } = U. A )
8	6, 7	syl5reqr 2188	. 2 |- ( U. A e. On -> U. A = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x } )
9	2, 8	syl 14	1 |- ( A C_ On -> U. A = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   {crab 2421   _Vcvv 2689   C_ wss 3076   U.cuni 3744   |^|cint 3779   Oncon0 4293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-in 3082  df-ss 3089  df-uni 3745  df-int 3780  df-tr 4035  df-iord 4296  df-on 4298

This theorem is referenced by: (None)