Theorem bm2.5ii 4588

Description: Problem 2.5(ii) of [BellMachover] p. 471. (Contributed by NM, 20-Sep-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
bm2.5ii.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
bm2.5ii	|- ( A C_ On -> U. A = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x } )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem bm2.5ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bm2.5ii.1	. . 3 |- A e. _V
2	1	ssonunii 4581	. 2 |- ( A C_ On -> U. A e. On )
3		intmin 3943	. . 3 |- ( U. A e. On -> |^| { x e. On | U. A C_ x } = U. A )
4		unissb 3918	. . . . . 6 |- ( U. A C_ x <-> A. y e. A y C_ x )
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( x e. On -> ( U. A C_ x <-> A. y e. A y C_ x ) )
6	5	rabbiia 2784	. . . 4 |- { x e. On | U. A C_ x } = { x e. On | A. y e. A y C_ x }
7	6	inteqi 3927	. . 3 |- |^| { x e. On | U. A C_ x } = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x }
8	3, 7	eqtr3di 2277	. 2 |- ( U. A e. On -> U. A = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x } )
9	2, 8	syl 14	1 |- ( A C_ On -> U. A = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   {crab 2512   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   U.cuni 3888   |^|cint 3923   Oncon0 4454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-in 3203  df-ss 3210  df-uni 3889  df-int 3924  df-tr 4183  df-iord 4457  df-on 4459

This theorem is referenced by: (None)