Theorem bm2.5ii 4544

Description: Problem 2.5(ii) of [BellMachover] p. 471. (Contributed by NM, 20-Sep-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
bm2.5ii.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
bm2.5ii	|- ( A C_ On -> U. A = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x } )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem bm2.5ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bm2.5ii.1	. . 3 |- A e. _V
2	1	ssonunii 4537	. 2 |- ( A C_ On -> U. A e. On )
3		intmin 3905	. . 3 |- ( U. A e. On -> |^| { x e. On | U. A C_ x } = U. A )
4		unissb 3880	. . . . . 6 |- ( U. A C_ x <-> A. y e. A y C_ x )
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( x e. On -> ( U. A C_ x <-> A. y e. A y C_ x ) )
6	5	rabbiia 2757	. . . 4 |- { x e. On | U. A C_ x } = { x e. On | A. y e. A y C_ x }
7	6	inteqi 3889	. . 3 |- |^| { x e. On | U. A C_ x } = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x }
8	3, 7	eqtr3di 2253	. 2 |- ( U. A e. On -> U. A = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x } )
9	2, 8	syl 14	1 |- ( A C_ On -> U. A = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   {crab 2488   _Vcvv 2772   C_ wss 3166   U.cuni 3850   |^|cint 3885   Oncon0 4410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-in 3172  df-ss 3179  df-uni 3851  df-int 3886  df-tr 4143  df-iord 4413  df-on 4415

This theorem is referenced by: (None)