Theorem bm2.5ii 4480

Description: Problem 2.5(ii) of [BellMachover] p. 471. (Contributed by NM, 20-Sep-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
bm2.5ii.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
bm2.5ii	|- ( A C_ On -> U. A = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x } )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem bm2.5ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bm2.5ii.1	. . 3 |- A e. _V
2	1	ssonunii 4473	. 2 |- ( A C_ On -> U. A e. On )
3		intmin 3851	. . 3 |- ( U. A e. On -> |^| { x e. On | U. A C_ x } = U. A )
4		unissb 3826	. . . . . 6 |- ( U. A C_ x <-> A. y e. A y C_ x )
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( x e. On -> ( U. A C_ x <-> A. y e. A y C_ x ) )
6	5	rabbiia 2715	. . . 4 |- { x e. On | U. A C_ x } = { x e. On | A. y e. A y C_ x }
7	6	inteqi 3835	. . 3 |- |^| { x e. On | U. A C_ x } = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x }
8	3, 7	eqtr3di 2218	. 2 |- ( U. A e. On -> U. A = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x } )
9	2, 8	syl 14	1 |- ( A C_ On -> U. A = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   {crab 2452   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   U.cuni 3796   |^|cint 3831   Oncon0 4348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-in 3127  df-ss 3134  df-uni 3797  df-int 3832  df-tr 4088  df-iord 4351  df-on 4353

This theorem is referenced by: (None)