Theorem bm2.5ii 4532

Description: Problem 2.5(ii) of [BellMachover] p. 471. (Contributed by NM, 20-Sep-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
bm2.5ii.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
bm2.5ii	|- ( A C_ On -> U. A = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x } )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem bm2.5ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bm2.5ii.1	. . 3 |- A e. _V
2	1	ssonunii 4525	. 2 |- ( A C_ On -> U. A e. On )
3		intmin 3894	. . 3 |- ( U. A e. On -> |^| { x e. On | U. A C_ x } = U. A )
4		unissb 3869	. . . . . 6 |- ( U. A C_ x <-> A. y e. A y C_ x )
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( x e. On -> ( U. A C_ x <-> A. y e. A y C_ x ) )
6	5	rabbiia 2748	. . . 4 |- { x e. On | U. A C_ x } = { x e. On | A. y e. A y C_ x }
7	6	inteqi 3878	. . 3 |- |^| { x e. On | U. A C_ x } = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x }
8	3, 7	eqtr3di 2244	. 2 |- ( U. A e. On -> U. A = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x } )
9	2, 8	syl 14	1 |- ( A C_ On -> U. A = |^| { x e. On | A. y e. A y C_ x } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   {crab 2479   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   U.cuni 3839   |^|cint 3874   Oncon0 4398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-in 3163  df-ss 3170  df-uni 3840  df-int 3875  df-tr 4132  df-iord 4401  df-on 4403

This theorem is referenced by: (None)