Theorem sucexb 4482

Description: A successor exists iff its class argument exists. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sucexb	|- ( A e. _V <-> suc A e. _V )

Proof of Theorem sucexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unexb 4428	. 2 |- ( ( A e. _V /\ { A } e. _V ) <-> ( A u. { A } ) e. _V )
2		snexg 4171	. . 3 |- ( A e. _V -> { A } e. _V )
3	2	pm4.71i 389	. 2 |- ( A e. _V <-> ( A e. _V /\ { A } e. _V ) )
4		df-suc 4357	. . 3 |- suc A = ( A u. { A } )
5	4	eleq1i 2237	. 2 |- ( suc A e. _V <-> ( A u. { A } ) e. _V )
6	1, 3, 5	3bitr4i 211	1 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2142   _Vcvv 2731   u. cun 3120   {csn 3584   suc csuc 4351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1352  df-nf 1455  df-sb 1757  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-rex 2455  df-v 2733  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-uni 3798  df-suc 4357

This theorem is referenced by:  sucexg  4483  sucelon  4488  onsucelsucr  4493  sucunielr  4495  peano2b  4600