ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sucexb Unicode version

Theorem sucexb 4492
Description: A successor exists iff its class argument exists. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
sucexb  |-  ( A  e.  _V  <->  suc  A  e. 
_V )

Proof of Theorem sucexb
StepHypRef Expression
1 unexb 4438 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { A }  e.  _V ) 
<->  ( A  u.  { A } )  e.  _V )
2 snexg 4181 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  { A }  e.  _V )
32pm4.71i 391 . 2  |-  ( A  e.  _V  <->  ( A  e.  _V  /\  { A }  e.  _V )
)
4 df-suc 4367 . . 3  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
54eleq1i 2243 . 2  |-  ( suc 
A  e.  _V  <->  ( A  u.  { A } )  e.  _V )
61, 3, 53bitr4i 212 1  |-  ( A  e.  _V  <->  suc  A  e. 
_V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105    e. wcel 2148   _Vcvv 2737    u. cun 3127   {csn 3591   suc csuc 4361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-uni 3808  df-suc 4367
This theorem is referenced by:  sucexg  4493  onsucb  4498  onsucelsucr  4503  sucunielr  4505  peano2b  4610
  Copyright terms: Public domain W3C validator