Theorem sucexb 4413

Description: A successor exists iff its class argument exists. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sucexb	|- ( A e. _V <-> suc A e. _V )

Proof of Theorem sucexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unexb 4363	. 2 |- ( ( A e. _V /\ { A } e. _V ) <-> ( A u. { A } ) e. _V )
2		snexg 4108	. . 3 |- ( A e. _V -> { A } e. _V )
3	2	pm4.71i 388	. 2 |- ( A e. _V <-> ( A e. _V /\ { A } e. _V ) )
4		df-suc 4293	. . 3 |- suc A = ( A u. { A } )
5	4	eleq1i 2205	. 2 |- ( suc A e. _V <-> ( A u. { A } ) e. _V )
6	1, 3, 5	3bitr4i 211	1 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   u. cun 3069   {csn 3527   suc csuc 4287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-suc 4293

This theorem is referenced by:  sucexg  4414  sucelon  4419  onsucelsucr  4424  sucunielr  4426  peano2b  4528