Theorem sucexb 4498

Description: A successor exists iff its class argument exists. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sucexb	|- ( A e. _V <-> suc A e. _V )

Proof of Theorem sucexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unexb 4444	. 2 |- ( ( A e. _V /\ { A } e. _V ) <-> ( A u. { A } ) e. _V )
2		snexg 4186	. . 3 |- ( A e. _V -> { A } e. _V )
3	2	pm4.71i 391	. 2 |- ( A e. _V <-> ( A e. _V /\ { A } e. _V ) )
4		df-suc 4373	. . 3 |- suc A = ( A u. { A } )
5	4	eleq1i 2243	. 2 |- ( suc A e. _V <-> ( A u. { A } ) e. _V )
6	1, 3, 5	3bitr4i 212	1 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   u. cun 3129   {csn 3594   suc csuc 4367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-uni 3812  df-suc 4373

This theorem is referenced by:  sucexg  4499  onsucb  4504  onsucelsucr  4509  sucunielr  4511  peano2b  4616