Theorem sucexb 4619

Description: A successor exists iff its class argument exists. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sucexb	|- ( A e. _V <-> suc A e. _V )

Proof of Theorem sucexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unexb 4563	. 2 |- ( ( A e. _V /\ { A } e. _V ) <-> ( A u. { A } ) e. _V )
2		snexg 4297	. . 3 |- ( A e. _V -> { A } e. _V )
3	2	pm4.71i 391	. 2 |- ( A e. _V <-> ( A e. _V /\ { A } e. _V ) )
4		df-suc 4492	. . 3 |- suc A = ( A u. { A } )
5	4	eleq1i 2298	. 2 |- ( suc A e. _V <-> ( A u. { A } ) e. _V )
6	1, 3, 5	3bitr4i 212	1 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   u. cun 3209   {csn 3689   suc csuc 4486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-uni 3915  df-suc 4492

This theorem is referenced by:  sucexg  4620  onsucb  4625  onsucelsucr  4630  sucunielr  4632  peano2b  4737