ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sucexb Unicode version

Theorem sucexb 4514
Description: A successor exists iff its class argument exists. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
sucexb  |-  ( A  e.  _V  <->  suc  A  e. 
_V )

Proof of Theorem sucexb
StepHypRef Expression
1 unexb 4460 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { A }  e.  _V ) 
<->  ( A  u.  { A } )  e.  _V )
2 snexg 4202 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  { A }  e.  _V )
32pm4.71i 391 . 2  |-  ( A  e.  _V  <->  ( A  e.  _V  /\  { A }  e.  _V )
)
4 df-suc 4389 . . 3  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
54eleq1i 2255 . 2  |-  ( suc 
A  e.  _V  <->  ( A  u.  { A } )  e.  _V )
61, 3, 53bitr4i 212 1  |-  ( A  e.  _V  <->  suc  A  e. 
_V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105    e. wcel 2160   _Vcvv 2752    u. cun 3142   {csn 3607   suc csuc 4383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-uni 3825  df-suc 4389
This theorem is referenced by:  sucexg  4515  onsucb  4520  onsucelsucr  4525  sucunielr  4527  peano2b  4632
  Copyright terms: Public domain W3C validator