Theorem sucexb 4529

Description: A successor exists iff its class argument exists. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sucexb	|- ( A e. _V <-> suc A e. _V )

Proof of Theorem sucexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unexb 4473	. 2 |- ( ( A e. _V /\ { A } e. _V ) <-> ( A u. { A } ) e. _V )
2		snexg 4213	. . 3 |- ( A e. _V -> { A } e. _V )
3	2	pm4.71i 391	. 2 |- ( A e. _V <-> ( A e. _V /\ { A } e. _V ) )
4		df-suc 4402	. . 3 |- suc A = ( A u. { A } )
5	4	eleq1i 2259	. 2 |- ( suc A e. _V <-> ( A u. { A } ) e. _V )
6	1, 3, 5	3bitr4i 212	1 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   u. cun 3151   {csn 3618   suc csuc 4396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-suc 4402

This theorem is referenced by:  sucexg  4530  onsucb  4535  onsucelsucr  4540  sucunielr  4542  peano2b  4647