Theorem brabsb 4263

Description: The law of concretion in terms of substitutions. (Contributed by NM, 17-Mar-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
brabsb.1	|- R = { <. x , y >. | ph }

Assertion

Ref	Expression
brabsb	|- ( A R B <-> [. A / x ]. [. B / y ]. ph )

Distinct variable groups:   x, y   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x, y)   B( y)   R( x, y)

Proof of Theorem brabsb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 4006	. 2 |- ( A R B <-> <. A , B >. e. R )
2		brabsb.1	. . 3 |- R = { <. x , y >. | ph }
3	2	eleq2i 2244	. 2 |- ( <. A , B >. e. R <-> <. A , B >. e. { <. x , y >. | ph } )
4		opelopabsb 4262	. 2 |- ( <. A , B >. e. { <. x , y >. | ph } <-> [. A / x ]. [. B / y ]. ph )
5	1, 3, 4	3bitri 206	1 |- ( A R B <-> [. A / x ]. [. B / y ]. ph )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   [.wsbc 2964   <.cop 3597   class class class wbr 4005   {copab 4065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067

This theorem is referenced by:  eqerlem  6568