Theorem brabsb 4355

Description: The law of concretion in terms of substitutions. (Contributed by NM, 17-Mar-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
brabsb.1	|- R = { <. x , y >. | ph }

Assertion

Ref	Expression
brabsb	|- ( A R B <-> [. A / x ]. [. B / y ]. ph )

Distinct variable groups:   x, y   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x, y)   B( y)   R( x, y)

Proof of Theorem brabsb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 4089	. 2 |- ( A R B <-> <. A , B >. e. R )
2		brabsb.1	. . 3 |- R = { <. x , y >. | ph }
3	2	eleq2i 2298	. 2 |- ( <. A , B >. e. R <-> <. A , B >. e. { <. x , y >. | ph } )
4		opelopabsb 4354	. 2 |- ( <. A , B >. e. { <. x , y >. | ph } <-> [. A / x ]. [. B / y ]. ph )
5	1, 3, 4	3bitri 206	1 |- ( A R B <-> [. A / x ]. [. B / y ]. ph )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   [.wsbc 3031   <.cop 3672   class class class wbr 4088   {copab 4149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151

This theorem is referenced by:  eqerlem  6732