Theorem brabsb 4384

Description: The law of concretion in terms of substitutions. (Contributed by NM, 17-Mar-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
brabsb.1	|- R = { <. x , y >. | ph }

Assertion

Ref	Expression
brabsb	|- ( A R B <-> [. A / x ]. [. B / y ]. ph )

Distinct variable groups:   x, y   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x, y)   B( y)   R( x, y)

Proof of Theorem brabsb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 4115	. 2 |- ( A R B <-> <. A , B >. e. R )
2		brabsb.1	. . 3 |- R = { <. x , y >. | ph }
3	2	eleq2i 2301	. 2 |- ( <. A , B >. e. R <-> <. A , B >. e. { <. x , y >. | ph } )
4		opelopabsb 4383	. 2 |- ( <. A , B >. e. { <. x , y >. | ph } <-> [. A / x ]. [. B / y ]. ph )
5	1, 3, 4	3bitri 206	1 |- ( A R B <-> [. A / x ]. [. B / y ]. ph )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   [.wsbc 3045   <.cop 3697   class class class wbr 4114   {copab 4175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-opab 4177

This theorem is referenced by:  eqerlem  6811