Theorem opelopabt 4247

Description: Closed theorem form of opelopab 4256. (Contributed by NM, 19-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
opelopabt	|- ( ( A. x A. y ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ A. x A. y ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) /\ ( A e. V /\ B e. W ) ) -> ( <. A , B >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ch ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   ch, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, y)   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem opelopabt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elopab 4243	. 2 |- ( <. A , B >. e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( <. A , B >. = <. x , y >. /\ ph ) )
2		19.26-2 1475	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) ) <-> ( A. x A. y ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ A. x A. y ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) ) )
3		anim12 342	. . . . . . 7 |- ( ( ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) ) -> ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ( ph <-> ps ) /\ ( ps <-> ch ) ) ) )
4		bitr 469	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph <-> ps ) /\ ( ps <-> ch ) ) -> ( ph <-> ch ) )
5	3, 4	syl6 33	. . . . . 6 |- ( ( ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) ) -> ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ph <-> ch ) ) )
6	5	2alimi 1449	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) ) -> A. x A. y ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ph <-> ch ) ) )
7	2, 6	sylbir 134	. . . 4 |- ( ( A. x A. y ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ A. x A. y ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) ) -> A. x A. y ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ph <-> ch ) ) )
8		copsex2t 4230	. . . 4 |- ( ( A. x A. y ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ph <-> ch ) ) /\ ( A e. V /\ B e. W ) ) -> ( E. x E. y ( <. A , B >. = <. x , y >. /\ ph ) <-> ch ) )
9	7, 8	sylan 281	. . 3 |- ( ( ( A. x A. y ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ A. x A. y ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) ) /\ ( A e. V /\ B e. W ) ) -> ( E. x E. y ( <. A , B >. = <. x , y >. /\ ph ) <-> ch ) )
10	9	3impa 1189	. 2 |- ( ( A. x A. y ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ A. x A. y ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) /\ ( A e. V /\ B e. W ) ) -> ( E. x E. y ( <. A , B >. = <. x , y >. /\ ph ) <-> ch ) )
11	1, 10	syl5bb 191	1 |- ( ( A. x A. y ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ A. x A. y ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) /\ ( A e. V /\ B e. W ) ) -> ( <. A , B >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ch ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   A.wal 1346   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   <.cop 3586   {copab 4049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-opab 4051

This theorem is referenced by: (None)