Theorem opelopabt 4350

Description: Closed theorem form of opelopab 4360. (Contributed by NM, 19-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
opelopabt	|- ( ( A. x A. y ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ A. x A. y ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) /\ ( A e. V /\ B e. W ) ) -> ( <. A , B >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ch ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   ch, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, y)   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem opelopabt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elopab 4346	. 2 |- ( <. A , B >. e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( <. A , B >. = <. x , y >. /\ ph ) )
2		19.26-2 1528	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) ) <-> ( A. x A. y ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ A. x A. y ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) ) )
3		anim12 344	. . . . . . 7 |- ( ( ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) ) -> ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ( ph <-> ps ) /\ ( ps <-> ch ) ) ) )
4		bitr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph <-> ps ) /\ ( ps <-> ch ) ) -> ( ph <-> ch ) )
5	3, 4	syl6 33	. . . . . 6 |- ( ( ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) ) -> ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ph <-> ch ) ) )
6	5	2alimi 1502	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) ) -> A. x A. y ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ph <-> ch ) ) )
7	2, 6	sylbir 135	. . . 4 |- ( ( A. x A. y ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ A. x A. y ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) ) -> A. x A. y ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ph <-> ch ) ) )
8		copsex2t 4331	. . . 4 |- ( ( A. x A. y ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ph <-> ch ) ) /\ ( A e. V /\ B e. W ) ) -> ( E. x E. y ( <. A , B >. = <. x , y >. /\ ph ) <-> ch ) )
9	7, 8	sylan 283	. . 3 |- ( ( ( A. x A. y ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ A. x A. y ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) ) /\ ( A e. V /\ B e. W ) ) -> ( E. x E. y ( <. A , B >. = <. x , y >. /\ ph ) <-> ch ) )
10	9	3impa 1218	. 2 |- ( ( A. x A. y ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ A. x A. y ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) /\ ( A e. V /\ B e. W ) ) -> ( E. x E. y ( <. A , B >. = <. x , y >. /\ ph ) <-> ch ) )
11	1, 10	bitrid 192	1 |- ( ( A. x A. y ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ A. x A. y ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) /\ ( A e. V /\ B e. W ) ) -> ( <. A , B >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ch ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   A.wal 1393   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   <.cop 3669   {copab 4144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-opab 4146

This theorem is referenced by: (None)