Theorem opelopabt 4326

Description: Closed theorem form of opelopab 4336. (Contributed by NM, 19-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
opelopabt	|- ( ( A. x A. y ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ A. x A. y ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) /\ ( A e. V /\ B e. W ) ) -> ( <. A , B >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ch ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   ch, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, y)   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem opelopabt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elopab 4322	. 2 |- ( <. A , B >. e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( <. A , B >. = <. x , y >. /\ ph ) )
2		19.26-2 1506	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) ) <-> ( A. x A. y ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ A. x A. y ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) ) )
3		anim12 344	. . . . . . 7 |- ( ( ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) ) -> ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ( ph <-> ps ) /\ ( ps <-> ch ) ) ) )
4		bitr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph <-> ps ) /\ ( ps <-> ch ) ) -> ( ph <-> ch ) )
5	3, 4	syl6 33	. . . . . 6 |- ( ( ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) ) -> ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ph <-> ch ) ) )
6	5	2alimi 1480	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) ) -> A. x A. y ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ph <-> ch ) ) )
7	2, 6	sylbir 135	. . . 4 |- ( ( A. x A. y ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ A. x A. y ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) ) -> A. x A. y ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ph <-> ch ) ) )
8		copsex2t 4307	. . . 4 |- ( ( A. x A. y ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ph <-> ch ) ) /\ ( A e. V /\ B e. W ) ) -> ( E. x E. y ( <. A , B >. = <. x , y >. /\ ph ) <-> ch ) )
9	7, 8	sylan 283	. . 3 |- ( ( ( A. x A. y ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ A. x A. y ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) ) /\ ( A e. V /\ B e. W ) ) -> ( E. x E. y ( <. A , B >. = <. x , y >. /\ ph ) <-> ch ) )
10	9	3impa 1197	. 2 |- ( ( A. x A. y ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ A. x A. y ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) /\ ( A e. V /\ B e. W ) ) -> ( E. x E. y ( <. A , B >. = <. x , y >. /\ ph ) <-> ch ) )
11	1, 10	bitrid 192	1 |- ( ( A. x A. y ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ A. x A. y ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) /\ ( A e. V /\ B e. W ) ) -> ( <. A , B >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ch ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   A.wal 1371   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   <.cop 3646   {copab 4120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-opab 4122

This theorem is referenced by: (None)