Theorem cnvcnv3 5120

Description: The set of all ordered pairs in a class is the same as the double converse. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnvcnv3	|- `' `' R = { <. x , y >. | x R y }

Distinct variable group:   x, y, R

Proof of Theorem cnvcnv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cnv 4672	. 2 |- `' `' R = { <. x , y >. | y `' R x }
2		vex 2766	. . . 4 |- y e. _V
3		vex 2766	. . . 4 |- x e. _V
4	2, 3	brcnv 4850	. . 3 |- ( y `' R x <-> x R y )
5	4	opabbii 4101	. 2 |- { <. x , y >. | y `' R x } = { <. x , y >. | x R y }
6	1, 5	eqtri 2217	1 |- `' `' R = { <. x , y >. | x R y }

Syntax hints:   = wceq 1364   class class class wbr 4034   {copab 4094   `'ccnv 4663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-cnv 4672

This theorem is referenced by:  dfrel4v  5122