Theorem dfrel2 5233

Description: Alternate definition of relation. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrel2	|- ( Rel R <-> `' `' R = R )

Proof of Theorem dfrel2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5160	. . 3 |- Rel `' `' R
2		vex 2824	. . . . . 6 |- x e. _V
3		vex 2824	. . . . . 6 |- y e. _V
4	2, 3	opelcnv 4957	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. `' `' R <-> <. y , x >. e. `' R )
5	3, 2	opelcnv 4957	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. `' R <-> <. x , y >. e. R )
6	4, 5	bitri 184	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. `' `' R <-> <. x , y >. e. R )
7	6	eqrelriv 4863	. . 3 |- ( ( Rel `' `' R /\ Rel R ) -> `' `' R = R )
8	1, 7	mpan 428	. 2 |- ( Rel R -> `' `' R = R )
9		releq 4852	. . 3 |- ( `' `' R = R -> ( Rel `' `' R <-> Rel R ) )
10	1, 9	mpbii 148	. 2 |- ( `' `' R = R -> Rel R )
11	8, 10	impbii 126	1 |- ( Rel R <-> `' `' R = R )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3708   `'ccnv 4768   Rel wrel 4774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777

This theorem is referenced by:  dfrel4v  5234  cnvcnv  5235  cnveqb  5238  dfrel3  5240  cnvcnvres  5246  cnvsn  5265  cores2  5295  co01  5297  coi2  5299  relcnvtr  5302  relcnvexb  5322  funcnvres2  5451  f1cnvcnv  5604  f1ocnv  5647  f1ocnvb  5648  f1ococnv1  5663  isores1  6010  cnvf1o  6451  tposf12  6530  ssenen  7142  relcnvfi  7245  caseinl  7421  caseinr  7422  fsumcnv  12182  fprodcnv  12370  structcnvcnv  13346  hmeocnv  15331  hmeocnvb  15342