Theorem dfrel2 5241

Description: Alternate definition of relation. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrel2	|- ( Rel R <-> `' `' R = R )

Proof of Theorem dfrel2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5168	. . 3 |- Rel `' `' R
2		vex 2824	. . . . . 6 |- x e. _V
3		vex 2824	. . . . . 6 |- y e. _V
4	2, 3	opelcnv 4964	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. `' `' R <-> <. y , x >. e. `' R )
5	3, 2	opelcnv 4964	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. `' R <-> <. x , y >. e. R )
6	4, 5	bitri 184	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. `' `' R <-> <. x , y >. e. R )
7	6	eqrelriv 4870	. . 3 |- ( ( Rel `' `' R /\ Rel R ) -> `' `' R = R )
8	1, 7	mpan 428	. 2 |- ( Rel R -> `' `' R = R )
9		releq 4859	. . 3 |- ( `' `' R = R -> ( Rel `' `' R <-> Rel R ) )
10	1, 9	mpbii 148	. 2 |- ( `' `' R = R -> Rel R )
11	8, 10	impbii 126	1 |- ( Rel R <-> `' `' R = R )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3712   `'ccnv 4775   Rel wrel 4781

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784

This theorem is used by:  dfrel4v  5242  cnvcnv  5243  cnveqb  5246  dfrel3  5248  cnvcnvres  5254  cnvsn  5273  cores2  5303  co01  5305  coi2  5307  relcnvtr  5310  relcnvexb  5330  funcnvres2  5459  f1cnvcnv  5612  f1ocnv  5655  f1ocnvb  5656  f1ococnv1  5671  isores1  6023  cnvf1o  6465  tposf12  6544  ssenen  7156  relcnvfi  7259  caseinl  7437  caseinr  7438  fsumcnv  12229  fprodcnv  12417  structcnvcnv  13426  hmeocnv  15533  hmeocnvb  15544