Theorem dfrel2 5187

Description: Alternate definition of relation. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrel2	|- ( Rel R <-> `' `' R = R )

Proof of Theorem dfrel2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5114	. . 3 |- Rel `' `' R
2		vex 2805	. . . . . 6 |- x e. _V
3		vex 2805	. . . . . 6 |- y e. _V
4	2, 3	opelcnv 4912	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. `' `' R <-> <. y , x >. e. `' R )
5	3, 2	opelcnv 4912	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. `' R <-> <. x , y >. e. R )
6	4, 5	bitri 184	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. `' `' R <-> <. x , y >. e. R )
7	6	eqrelriv 4819	. . 3 |- ( ( Rel `' `' R /\ Rel R ) -> `' `' R = R )
8	1, 7	mpan 424	. 2 |- ( Rel R -> `' `' R = R )
9		releq 4808	. . 3 |- ( `' `' R = R -> ( Rel `' `' R <-> Rel R ) )
10	1, 9	mpbii 148	. 2 |- ( `' `' R = R -> Rel R )
11	8, 10	impbii 126	1 |- ( Rel R <-> `' `' R = R )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   <.cop 3672   `'ccnv 4724   Rel wrel 4730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733

This theorem is referenced by:  dfrel4v  5188  cnvcnv  5189  cnveqb  5192  dfrel3  5194  cnvcnvres  5200  cnvsn  5219  cores2  5249  co01  5251  coi2  5253  relcnvtr  5256  relcnvexb  5276  funcnvres2  5405  f1cnvcnv  5553  f1ocnv  5596  f1ocnvb  5597  f1ococnv1  5612  isores1  5954  cnvf1o  6389  tposf12  6434  ssenen  7036  relcnvfi  7139  caseinl  7289  caseinr  7290  fsumcnv  11997  fprodcnv  12185  structcnvcnv  13097  hmeocnv  15030  hmeocnvb  15041