Theorem dfrel2 5116

Description: Alternate definition of relation. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrel2	|- ( Rel R <-> `' `' R = R )

Proof of Theorem dfrel2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5043	. . 3 |- Rel `' `' R
2		vex 2763	. . . . . 6 |- x e. _V
3		vex 2763	. . . . . 6 |- y e. _V
4	2, 3	opelcnv 4844	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. `' `' R <-> <. y , x >. e. `' R )
5	3, 2	opelcnv 4844	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. `' R <-> <. x , y >. e. R )
6	4, 5	bitri 184	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. `' `' R <-> <. x , y >. e. R )
7	6	eqrelriv 4752	. . 3 |- ( ( Rel `' `' R /\ Rel R ) -> `' `' R = R )
8	1, 7	mpan 424	. 2 |- ( Rel R -> `' `' R = R )
9		releq 4741	. . 3 |- ( `' `' R = R -> ( Rel `' `' R <-> Rel R ) )
10	1, 9	mpbii 148	. 2 |- ( `' `' R = R -> Rel R )
11	8, 10	impbii 126	1 |- ( Rel R <-> `' `' R = R )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   <.cop 3621   `'ccnv 4658   Rel wrel 4664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667

This theorem is referenced by:  dfrel4v  5117  cnvcnv  5118  cnveqb  5121  dfrel3  5123  cnvcnvres  5129  cnvsn  5148  cores2  5178  co01  5180  coi2  5182  relcnvtr  5185  relcnvexb  5205  funcnvres2  5329  f1cnvcnv  5470  f1ocnv  5513  f1ocnvb  5514  f1ococnv1  5529  isores1  5857  cnvf1o  6278  tposf12  6322  ssenen  6907  relcnvfi  7000  caseinl  7150  caseinr  7151  fsumcnv  11580  fprodcnv  11768  structcnvcnv  12634  hmeocnv  14475  hmeocnvb  14486