Theorem dfrel2 5238

Description: Alternate definition of relation. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrel2	|- ( Rel R <-> `' `' R = R )

Proof of Theorem dfrel2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5165	. . 3 |- Rel `' `' R
2		vex 2824	. . . . . 6 |- x e. _V
3		vex 2824	. . . . . 6 |- y e. _V
4	2, 3	opelcnv 4962	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. `' `' R <-> <. y , x >. e. `' R )
5	3, 2	opelcnv 4962	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. `' R <-> <. x , y >. e. R )
6	4, 5	bitri 184	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. `' `' R <-> <. x , y >. e. R )
7	6	eqrelriv 4868	. . 3 |- ( ( Rel `' `' R /\ Rel R ) -> `' `' R = R )
8	1, 7	mpan 428	. 2 |- ( Rel R -> `' `' R = R )
9		releq 4857	. . 3 |- ( `' `' R = R -> ( Rel `' `' R <-> Rel R ) )
10	1, 9	mpbii 148	. 2 |- ( `' `' R = R -> Rel R )
11	8, 10	impbii 126	1 |- ( Rel R <-> `' `' R = R )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3712   `'ccnv 4773   Rel wrel 4779

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782

This theorem is used by:  dfrel4v  5239  cnvcnv  5240  cnveqb  5243  dfrel3  5245  cnvcnvres  5251  cnvsn  5270  cores2  5300  co01  5302  coi2  5304  relcnvtr  5307  relcnvexb  5327  funcnvres2  5456  f1cnvcnv  5609  f1ocnv  5652  f1ocnvb  5653  f1ococnv1  5668  isores1  6020  cnvf1o  6461  tposf12  6540  ssenen  7152  relcnvfi  7255  caseinl  7431  caseinr  7432  fsumcnv  12204  fprodcnv  12392  structcnvcnv  13368  hmeocnv  15408  hmeocnvb  15419