Theorem dfrel2 5213

Description: Alternate definition of relation. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrel2	|- ( Rel R <-> `' `' R = R )

Proof of Theorem dfrel2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5140	. . 3 |- Rel `' `' R
2		vex 2816	. . . . . 6 |- x e. _V
3		vex 2816	. . . . . 6 |- y e. _V
4	2, 3	opelcnv 4937	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. `' `' R <-> <. y , x >. e. `' R )
5	3, 2	opelcnv 4937	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. `' R <-> <. x , y >. e. R )
6	4, 5	bitri 184	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. `' `' R <-> <. x , y >. e. R )
7	6	eqrelriv 4843	. . 3 |- ( ( Rel `' `' R /\ Rel R ) -> `' `' R = R )
8	1, 7	mpan 424	. 2 |- ( Rel R -> `' `' R = R )
9		releq 4832	. . 3 |- ( `' `' R = R -> ( Rel `' `' R <-> Rel R ) )
10	1, 9	mpbii 148	. 2 |- ( `' `' R = R -> Rel R )
11	8, 10	impbii 126	1 |- ( Rel R <-> `' `' R = R )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   <.cop 3692   `'ccnv 4748   Rel wrel 4754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757

This theorem is referenced by:  dfrel4v  5214  cnvcnv  5215  cnveqb  5218  dfrel3  5220  cnvcnvres  5226  cnvsn  5245  cores2  5275  co01  5277  coi2  5279  relcnvtr  5282  relcnvexb  5302  funcnvres2  5431  f1cnvcnv  5584  f1ocnv  5627  f1ocnvb  5628  f1ococnv1  5643  isores1  5987  cnvf1o  6421  tposf12  6500  ssenen  7105  relcnvfi  7208  caseinl  7382  caseinr  7383  fsumcnv  12123  fprodcnv  12311  structcnvcnv  13228  hmeocnv  15172  hmeocnvb  15183