Theorem xpimasn 4892

Description: The image of a singleton by a cross product. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xpimasn	|- ( X e. A -> ( ( A X. B ) " { X } ) = B )

Proof of Theorem xpimasn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snmg 3564	. . 3 |- ( X e. A -> E. x x e. { X } )
2		snssi 3587	. . . . . 6 |- ( X e. A -> { X } C_ A )
3		dfss1 3205	. . . . . 6 |- ( { X } C_ A <-> ( A i^i { X } ) = { X } )
4	2, 3	sylib 121	. . . . 5 |- ( X e. A -> ( A i^i { X } ) = { X } )
5	4	eleq2d 2158	. . . 4 |- ( X e. A -> ( x e. ( A i^i { X } ) <-> x e. { X } ) )
6	5	exbidv 1754	. . 3 |- ( X e. A -> ( E. x x e. ( A i^i { X } ) <-> E. x x e. { X } ) )
7	1, 6	mpbird 166	. 2 |- ( X e. A -> E. x x e. ( A i^i { X } ) )
8		xpima2m 4891	. 2 |- ( E. x x e. ( A i^i { X } ) -> ( ( A X. B ) " { X } ) = B )
9	7, 8	syl 14	1 |- ( X e. A -> ( ( A X. B ) " { X } ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1290   E.wex 1427   e. wcel 1439   i^i cin 2999   C_ wss 3000   {csn 3450   X. cxp 4449   "cima 4454

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-br 3852  df-opab 3906  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464

This theorem is referenced by: (None)