Theorem xpimasn 5052

Description: The image of a singleton by a cross product. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xpimasn	|- ( X e. A -> ( ( A X. B ) " { X } ) = B )

Proof of Theorem xpimasn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snmg 3694	. . 3 |- ( X e. A -> E. x x e. { X } )
2		snssi 3717	. . . . . 6 |- ( X e. A -> { X } C_ A )
3		dfss1 3326	. . . . . 6 |- ( { X } C_ A <-> ( A i^i { X } ) = { X } )
4	2, 3	sylib 121	. . . . 5 |- ( X e. A -> ( A i^i { X } ) = { X } )
5	4	eleq2d 2236	. . . 4 |- ( X e. A -> ( x e. ( A i^i { X } ) <-> x e. { X } ) )
6	5	exbidv 1813	. . 3 |- ( X e. A -> ( E. x x e. ( A i^i { X } ) <-> E. x x e. { X } ) )
7	1, 6	mpbird 166	. 2 |- ( X e. A -> E. x x e. ( A i^i { X } ) )
8		xpima2m 5051	. 2 |- ( E. x x e. ( A i^i { X } ) -> ( ( A X. B ) " { X } ) = B )
9	7, 8	syl 14	1 |- ( X e. A -> ( ( A X. B ) " { X } ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   i^i cin 3115   C_ wss 3116   {csn 3576   X. cxp 4602   "cima 4607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617

This theorem is referenced by:  imasnopn  12939