Theorem xpimasn 4982

Description: The image of a singleton by a cross product. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xpimasn	|- ( X e. A -> ( ( A X. B ) " { X } ) = B )

Proof of Theorem xpimasn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snmg 3636	. . 3 |- ( X e. A -> E. x x e. { X } )
2		snssi 3659	. . . . . 6 |- ( X e. A -> { X } C_ A )
3		dfss1 3275	. . . . . 6 |- ( { X } C_ A <-> ( A i^i { X } ) = { X } )
4	2, 3	sylib 121	. . . . 5 |- ( X e. A -> ( A i^i { X } ) = { X } )
5	4	eleq2d 2207	. . . 4 |- ( X e. A -> ( x e. ( A i^i { X } ) <-> x e. { X } ) )
6	5	exbidv 1797	. . 3 |- ( X e. A -> ( E. x x e. ( A i^i { X } ) <-> E. x x e. { X } ) )
7	1, 6	mpbird 166	. 2 |- ( X e. A -> E. x x e. ( A i^i { X } ) )
8		xpima2m 4981	. 2 |- ( E. x x e. ( A i^i { X } ) -> ( ( A X. B ) " { X } ) = B )
9	7, 8	syl 14	1 |- ( X e. A -> ( ( A X. B ) " { X } ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   i^i cin 3065   C_ wss 3066   {csn 3522   X. cxp 4532   "cima 4537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547

This theorem is referenced by:  imasnopn  12457