Theorem xpimasn 4995

Description: The image of a singleton by a cross product. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xpimasn	|- ( X e. A -> ( ( A X. B ) " { X } ) = B )

Proof of Theorem xpimasn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snmg 3649	. . 3 |- ( X e. A -> E. x x e. { X } )
2		snssi 3672	. . . . . 6 |- ( X e. A -> { X } C_ A )
3		dfss1 3285	. . . . . 6 |- ( { X } C_ A <-> ( A i^i { X } ) = { X } )
4	2, 3	sylib 121	. . . . 5 |- ( X e. A -> ( A i^i { X } ) = { X } )
5	4	eleq2d 2210	. . . 4 |- ( X e. A -> ( x e. ( A i^i { X } ) <-> x e. { X } ) )
6	5	exbidv 1798	. . 3 |- ( X e. A -> ( E. x x e. ( A i^i { X } ) <-> E. x x e. { X } ) )
7	1, 6	mpbird 166	. 2 |- ( X e. A -> E. x x e. ( A i^i { X } ) )
8		xpima2m 4994	. 2 |- ( E. x x e. ( A i^i { X } ) -> ( ( A X. B ) " { X } ) = B )
9	7, 8	syl 14	1 |- ( X e. A -> ( ( A X. B ) " { X } ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   i^i cin 3075   C_ wss 3076   {csn 3532   X. cxp 4545   "cima 4550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560

This theorem is referenced by:  imasnopn  12507