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Theorem csbxpg 4744
Description: Distribute proper substitution through the cross product of two classes. (Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
csbxpg |- ( A e. D -> [_ A / x ]_ ( B X. C ) = ( [_ A / x ]_ B X. [_ A / x ]_ C ) )
Proof of Theorem csbxpg
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbabg 3146 . . 3 |- ( A e. D -> [_ A / x ]_ { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) } = { z | [. A / x ]. E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) } )
2 sbcexg 3044 . . . . 5 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> E. w [. A / x ]. E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) ) )
3 sbcexg 3044 . . . . . . 7 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> E. y [. A / x ]. ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) ) )
4 sbcang 3033 . . . . . . . . 9 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> ( [. A / x ]. z = <. w , y >. /\ [. A / x ]. ( w e. B /\ y e. C ) ) ) )
5 sbcg 3059 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. z = <. w , y >. <-> z = <. w , y >. ) )
6 sbcang 3033 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. ( w e. B /\ y e. C ) <-> ( [. A / x ]. w e. B /\ [. A / x ]. y e. C ) ) )
7 sbcel2g 3105 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. w e. B <-> w e. [_ A / x ]_ B ) )
8 sbcel2g 3105 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. y e. C <-> y e. [_ A / x ]_ C ) )
97, 8anbi12d 473 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. D -> ( ( [. A / x ]. w e. B /\ [. A / x ]. y e. C ) <-> ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) )
106, 9bitrd 188 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. ( w e. B /\ y e. C ) <-> ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) )
115, 10anbi12d 473 . . . . . . . . 9 |- ( A e. D -> ( ( [. A / x ]. z = <. w , y >. /\ [. A / x ]. ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) ) )
124, 11bitrd 188 . . . . . . . 8 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) ) )
1312exbidv 1839 . . . . . . 7 |- ( A e. D -> ( E. y [. A / x ]. ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) ) )
143, 13bitrd 188 . . . . . 6 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) ) )
1514exbidv 1839 . . . . 5 |- ( A e. D -> ( E. w [. A / x ]. E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) ) )
162, 15bitrd 188 . . . 4 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) ) )
1716abbidv 2314 . . 3 |- ( A e. D -> { z | [. A / x ]. E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) } = { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) } )
181, 17eqtrd 2229 . 2 |- ( A e. D -> [_ A / x ]_ { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) } = { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) } )
19 df-xp 4669 . . . 4 |- ( B X. C ) = { <. w , y >. | ( w e. B /\ y e. C ) }
20 df-opab 4095 . . . 4 |- { <. w , y >. | ( w e. B /\ y e. C ) } = { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) }
2119, 20eqtri 2217 . . 3 |- ( B X. C ) = { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) }
2221csbeq2i 3111 . 2 |- [_ A / x ]_ ( B X. C ) = [_ A / x ]_ { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) }
23 df-xp 4669 . . 3 |- ( [_ A / x ]_ B X. [_ A / x ]_ C ) = { <. w , y >. | ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) }
24 df-opab 4095 . . 3 |- { <. w , y >. | ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) } = { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) }
2523, 24eqtri 2217 . 2 |- ( [_ A / x ]_ B X. [_ A / x ]_ C ) = { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) }
2618, 22, 253eqtr4g 2254 1 |- ( A e. D -> [_ A / x ]_ ( B X. C ) = ( [_ A / x ]_ B X. [_ A / x ]_ C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   {cab 2182   [.wsbc 2989   [_csb 3084   <.cop 3625   {copab 4093   X. cxp 4661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-opab 4095  df-xp 4669
This theorem is referenced by:  csbresg  4949
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