Theorem csbxpg 4807

Description: Distribute proper substitution through the cross product of two classes. (Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
csbxpg	|- ( A e. D -> [_ A / x ]_ ( B X. C ) = ( [_ A / x ]_ B X. [_ A / x ]_ C ) )

Proof of Theorem csbxpg

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbabg 3189	. . 3 |- ( A e. D -> [_ A / x ]_ { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) } = { z | [. A / x ]. E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) } )
2		sbcexg 3086	. . . . 5 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> E. w [. A / x ]. E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) ) )
3		sbcexg 3086	. . . . . . 7 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> E. y [. A / x ]. ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) ) )
4		sbcang 3075	. . . . . . . . 9 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> ( [. A / x ]. z = <. w , y >. /\ [. A / x ]. ( w e. B /\ y e. C ) ) ) )
5		sbcg 3101	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. z = <. w , y >. <-> z = <. w , y >. ) )
6		sbcang 3075	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. ( w e. B /\ y e. C ) <-> ( [. A / x ]. w e. B /\ [. A / x ]. y e. C ) ) )
7		sbcel2g 3148	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. w e. B <-> w e. [_ A / x ]_ B ) )
8		sbcel2g 3148	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. y e. C <-> y e. [_ A / x ]_ C ) )
9	7, 8	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. D -> ( ( [. A / x ]. w e. B /\ [. A / x ]. y e. C ) <-> ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) )
10	6, 9	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. ( w e. B /\ y e. C ) <-> ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) )
11	5, 10	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( A e. D -> ( ( [. A / x ]. z = <. w , y >. /\ [. A / x ]. ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) ) )
12	4, 11	bitrd 188	. . . . . . . 8 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) ) )
13	12	exbidv 1873	. . . . . . 7 |- ( A e. D -> ( E. y [. A / x ]. ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) ) )
14	3, 13	bitrd 188	. . . . . 6 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) ) )
15	14	exbidv 1873	. . . . 5 |- ( A e. D -> ( E. w [. A / x ]. E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) ) )
16	2, 15	bitrd 188	. . . 4 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) ) )
17	16	abbidv 2349	. . 3 |- ( A e. D -> { z | [. A / x ]. E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) } = { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) } )
18	1, 17	eqtrd 2264	. 2 |- ( A e. D -> [_ A / x ]_ { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) } = { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) } )
19		df-xp 4731	. . . 4 |- ( B X. C ) = { <. w , y >. | ( w e. B /\ y e. C ) }
20		df-opab 4151	. . . 4 |- { <. w , y >. | ( w e. B /\ y e. C ) } = { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) }
21	19, 20	eqtri 2252	. . 3 |- ( B X. C ) = { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) }
22	21	csbeq2i 3154	. 2 |- [_ A / x ]_ ( B X. C ) = [_ A / x ]_ { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) }
23		df-xp 4731	. . 3 |- ( [_ A / x ]_ B X. [_ A / x ]_ C ) = { <. w , y >. | ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) }
24		df-opab 4151	. . 3 |- { <. w , y >. | ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) } = { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) }
25	23, 24	eqtri 2252	. 2 |- ( [_ A / x ]_ B X. [_ A / x ]_ C ) = { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) }
26	18, 22, 25	3eqtr4g 2289	1 |- ( A e. D -> [_ A / x ]_ ( B X. C ) = ( [_ A / x ]_ B X. [_ A / x ]_ C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   {cab 2217   [.wsbc 3031   [_csb 3127   <.cop 3672   {copab 4149   X. cxp 4723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-opab 4151  df-xp 4731

This theorem is referenced by:  csbresg  5016