Theorem 0xp 4684

Description: The cross product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
0xp	|- ( (/) X. A ) = (/)

Proof of Theorem 0xp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 4621	. . 3 |- ( z e. ( (/) X. A ) <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. (/) /\ y e. A ) ) )
2		noel 3413	. . . . . . 7 |- -. x e. (/)
3		simprl 521	. . . . . . 7 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ( x e. (/) /\ y e. A ) ) -> x e. (/) )
4	2, 3	mto 652	. . . . . 6 |- -. ( z = <. x , y >. /\ ( x e. (/) /\ y e. A ) )
5	4	nex 1488	. . . . 5 |- -. E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. (/) /\ y e. A ) )
6	5	nex 1488	. . . 4 |- -. E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. (/) /\ y e. A ) )
7		noel 3413	. . . 4 |- -. z e. (/)
8	6, 7	2false 691	. . 3 |- ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. (/) /\ y e. A ) ) <-> z e. (/) )
9	1, 8	bitri 183	. 2 |- ( z e. ( (/) X. A ) <-> z e. (/) )
10	9	eqriv 2162	1 |- ( (/) X. A ) = (/)

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   (/)c0 3409   <.cop 3579   X. cxp 4602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-opab 4044  df-xp 4610

This theorem is referenced by:  res0  4888  xp0  5023  xpeq0r  5026  xpdisj1  5028  xpima1  5050  xpfi  6895  exmidfodomrlemim  7157  hashxp  10739