Theorem 0xp 4743

Description: The cross product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
0xp	|- ( (/) X. A ) = (/)

Proof of Theorem 0xp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 4680	. . 3 |- ( z e. ( (/) X. A ) <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. (/) /\ y e. A ) ) )
2		noel 3454	. . . . . . 7 |- -. x e. (/)
3		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ( x e. (/) /\ y e. A ) ) -> x e. (/) )
4	2, 3	mto 663	. . . . . 6 |- -. ( z = <. x , y >. /\ ( x e. (/) /\ y e. A ) )
5	4	nex 1514	. . . . 5 |- -. E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. (/) /\ y e. A ) )
6	5	nex 1514	. . . 4 |- -. E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. (/) /\ y e. A ) )
7		noel 3454	. . . 4 |- -. z e. (/)
8	6, 7	2false 702	. . 3 |- ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. (/) /\ y e. A ) ) <-> z e. (/) )
9	1, 8	bitri 184	. 2 |- ( z e. ( (/) X. A ) <-> z e. (/) )
10	9	eqriv 2193	1 |- ( (/) X. A ) = (/)

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   (/)c0 3450   <.cop 3625   X. cxp 4661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-opab 4095  df-xp 4669

This theorem is referenced by:  res0  4950  xp0  5089  xpeq0r  5092  xpdisj1  5094  xpima1  5116  xpfi  6993  exmidfodomrlemim  7268  hashxp  10918