Theorem difprsn1 3706

Description: Removal of a singleton from an unordered pair. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
difprsn1	|- ( A =/= B -> ( { A , B } \ { A } ) = { B } )

Proof of Theorem difprsn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		necom 2418	. 2 |- ( B =/= A <-> A =/= B )
2		df-pr 3577	. . . . . 6 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
3	2	equncomi 3263	. . . . 5 |- { A , B } = ( { B } u. { A } )
4	3	difeq1i 3231	. . . 4 |- ( { A , B } \ { A } ) = ( ( { B } u. { A } ) \ { A } )
5		difun2 3483	. . . 4 |- ( ( { B } u. { A } ) \ { A } ) = ( { B } \ { A } )
6	4, 5	eqtri 2185	. . 3 |- ( { A , B } \ { A } ) = ( { B } \ { A } )
7		disjsn2 3633	. . . 4 |- ( B =/= A -> ( { B } i^i { A } ) = (/) )
8		disj3 3456	. . . 4 |- ( ( { B } i^i { A } ) = (/) <-> { B } = ( { B } \ { A } ) )
9	7, 8	sylib 121	. . 3 |- ( B =/= A -> { B } = ( { B } \ { A } ) )
10	6, 9	eqtr4id 2216	. 2 |- ( B =/= A -> ( { A , B } \ { A } ) = { B } )
11	1, 10	sylbir 134	1 |- ( A =/= B -> ( { A , B } \ { A } ) = { B } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1342   =/= wne 2334   \ cdif 3108   u. cun 3109   i^i cin 3110   (/)c0 3404   {csn 3570   {cpr 3571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rab 2451  df-v 2723  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-sn 3576  df-pr 3577

This theorem is referenced by:  difprsn2  3707