Theorem difprsn1 3712

Description: Removal of a singleton from an unordered pair. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
difprsn1	|- ( A =/= B -> ( { A , B } \ { A } ) = { B } )

Proof of Theorem difprsn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		necom 2420	. 2 |- ( B =/= A <-> A =/= B )
2		df-pr 3583	. . . . . 6 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
3	2	equncomi 3268	. . . . 5 |- { A , B } = ( { B } u. { A } )
4	3	difeq1i 3236	. . . 4 |- ( { A , B } \ { A } ) = ( ( { B } u. { A } ) \ { A } )
5		difun2 3488	. . . 4 |- ( ( { B } u. { A } ) \ { A } ) = ( { B } \ { A } )
6	4, 5	eqtri 2186	. . 3 |- ( { A , B } \ { A } ) = ( { B } \ { A } )
7		disjsn2 3639	. . . 4 |- ( B =/= A -> ( { B } i^i { A } ) = (/) )
8		disj3 3461	. . . 4 |- ( ( { B } i^i { A } ) = (/) <-> { B } = ( { B } \ { A } ) )
9	7, 8	sylib 121	. . 3 |- ( B =/= A -> { B } = ( { B } \ { A } ) )
10	6, 9	eqtr4id 2218	. 2 |- ( B =/= A -> ( { A , B } \ { A } ) = { B } )
11	1, 10	sylbir 134	1 |- ( A =/= B -> ( { A , B } \ { A } ) = { B } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1343   =/= wne 2336   \ cdif 3113   u. cun 3114   i^i cin 3115   (/)c0 3409   {csn 3576   {cpr 3577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-sn 3582  df-pr 3583

This theorem is referenced by:  difprsn2  3713