Theorem difprsn1 3719

Description: Removal of a singleton from an unordered pair. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
difprsn1	|- ( A =/= B -> ( { A , B } \ { A } ) = { B } )

Proof of Theorem difprsn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		necom 2424	. 2 |- ( B =/= A <-> A =/= B )
2		df-pr 3590	. . . . . 6 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
3	2	equncomi 3273	. . . . 5 |- { A , B } = ( { B } u. { A } )
4	3	difeq1i 3241	. . . 4 |- ( { A , B } \ { A } ) = ( ( { B } u. { A } ) \ { A } )
5		difun2 3494	. . . 4 |- ( ( { B } u. { A } ) \ { A } ) = ( { B } \ { A } )
6	4, 5	eqtri 2191	. . 3 |- ( { A , B } \ { A } ) = ( { B } \ { A } )
7		disjsn2 3646	. . . 4 |- ( B =/= A -> ( { B } i^i { A } ) = (/) )
8		disj3 3467	. . . 4 |- ( ( { B } i^i { A } ) = (/) <-> { B } = ( { B } \ { A } ) )
9	7, 8	sylib 121	. . 3 |- ( B =/= A -> { B } = ( { B } \ { A } ) )
10	6, 9	eqtr4id 2222	. 2 |- ( B =/= A -> ( { A , B } \ { A } ) = { B } )
11	1, 10	sylbir 134	1 |- ( A =/= B -> ( { A , B } \ { A } ) = { B } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1348   =/= wne 2340   \ cdif 3118   u. cun 3119   i^i cin 3120   (/)c0 3414   {csn 3583   {cpr 3584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-sn 3589  df-pr 3590

This theorem is referenced by:  difprsn2  3720