Theorem difprsn1 3757

Description: Removal of a singleton from an unordered pair. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
difprsn1	|- ( A =/= B -> ( { A , B } \ { A } ) = { B } )

Proof of Theorem difprsn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		necom 2448	. 2 |- ( B =/= A <-> A =/= B )
2		df-pr 3625	. . . . . 6 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
3	2	equncomi 3305	. . . . 5 |- { A , B } = ( { B } u. { A } )
4	3	difeq1i 3273	. . . 4 |- ( { A , B } \ { A } ) = ( ( { B } u. { A } ) \ { A } )
5		difun2 3526	. . . 4 |- ( ( { B } u. { A } ) \ { A } ) = ( { B } \ { A } )
6	4, 5	eqtri 2214	. . 3 |- ( { A , B } \ { A } ) = ( { B } \ { A } )
7		disjsn2 3681	. . . 4 |- ( B =/= A -> ( { B } i^i { A } ) = (/) )
8		disj3 3499	. . . 4 |- ( ( { B } i^i { A } ) = (/) <-> { B } = ( { B } \ { A } ) )
9	7, 8	sylib 122	. . 3 |- ( B =/= A -> { B } = ( { B } \ { A } ) )
10	6, 9	eqtr4id 2245	. 2 |- ( B =/= A -> ( { A , B } \ { A } ) = { B } )
11	1, 10	sylbir 135	1 |- ( A =/= B -> ( { A , B } \ { A } ) = { B } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   =/= wne 2364   \ cdif 3150   u. cun 3151   i^i cin 3152   (/)c0 3446   {csn 3618   {cpr 3619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-sn 3624  df-pr 3625

This theorem is referenced by:  difprsn2  3758