Theorem difprsn1 3761

Description: Removal of a singleton from an unordered pair. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
difprsn1	|- ( A =/= B -> ( { A , B } \ { A } ) = { B } )

Proof of Theorem difprsn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		necom 2451	. 2 |- ( B =/= A <-> A =/= B )
2		df-pr 3629	. . . . . 6 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
3	2	equncomi 3309	. . . . 5 |- { A , B } = ( { B } u. { A } )
4	3	difeq1i 3277	. . . 4 |- ( { A , B } \ { A } ) = ( ( { B } u. { A } ) \ { A } )
5		difun2 3530	. . . 4 |- ( ( { B } u. { A } ) \ { A } ) = ( { B } \ { A } )
6	4, 5	eqtri 2217	. . 3 |- ( { A , B } \ { A } ) = ( { B } \ { A } )
7		disjsn2 3685	. . . 4 |- ( B =/= A -> ( { B } i^i { A } ) = (/) )
8		disj3 3503	. . . 4 |- ( ( { B } i^i { A } ) = (/) <-> { B } = ( { B } \ { A } ) )
9	7, 8	sylib 122	. . 3 |- ( B =/= A -> { B } = ( { B } \ { A } ) )
10	6, 9	eqtr4id 2248	. 2 |- ( B =/= A -> ( { A , B } \ { A } ) = { B } )
11	1, 10	sylbir 135	1 |- ( A =/= B -> ( { A , B } \ { A } ) = { B } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   =/= wne 2367   \ cdif 3154   u. cun 3155   i^i cin 3156   (/)c0 3450   {csn 3622   {cpr 3623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-sn 3628  df-pr 3629

This theorem is referenced by:  difprsn2  3762