Theorem difprsn1 3813

Description: Removal of a singleton from an unordered pair. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
difprsn1	⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐴}) = {𝐵})

Proof of Theorem difprsn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		necom 2485	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵)
2		df-pr 3677	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
3	2	equncomi 3352	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐵} ∪ {𝐴})
4	3	difeq1i 3320	. . . 4 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐴}) = (({𝐵} ∪ {𝐴}) ∖ {𝐴})
5		difun2 3573	. . . 4 ⊢ (({𝐵} ∪ {𝐴}) ∖ {𝐴}) = ({𝐵} ∖ {𝐴})
6	4, 5	eqtri 2251	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐴}) = ({𝐵} ∖ {𝐴})
7		disjsn2 3733	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → ({𝐵} ∩ {𝐴}) = ∅)
8		disj3 3546	. . . 4 ⊢ (({𝐵} ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ {𝐵} = ({𝐵} ∖ {𝐴}))
9	7, 8	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → {𝐵} = ({𝐵} ∖ {𝐴}))
10	6, 9	eqtr4id 2282	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐴}) = {𝐵})
11	1, 10	sylbir 135	1 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐴}) = {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ≠ wne 2401   ∖ cdif 3196   ∪ cun 3197   ∩ cin 3198  ∅c0 3493  {csn 3670  {cpr 3671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rab 2518  df-v 2803  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-sn 3676  df-pr 3677

This theorem is referenced by:  difprsn2  3814