Theorem difprsn1 3571

Description: Removal of a singleton from an unordered pair. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
difprsn1	⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐴}) = {𝐵})

Proof of Theorem difprsn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		necom 2339	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵)
2		disjsn2 3500	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → ({𝐵} ∩ {𝐴}) = ∅)
3		disj3 3332	. . . 4 ⊢ (({𝐵} ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ {𝐵} = ({𝐵} ∖ {𝐴}))
4	2, 3	sylib 120	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → {𝐵} = ({𝐵} ∖ {𝐴}))
5		df-pr 3448	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
6	5	equncomi 3144	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐵} ∪ {𝐴})
7	6	difeq1i 3112	. . . 4 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐴}) = (({𝐵} ∪ {𝐴}) ∖ {𝐴})
8		difun2 3358	. . . 4 ⊢ (({𝐵} ∪ {𝐴}) ∖ {𝐴}) = ({𝐵} ∖ {𝐴})
9	7, 8	eqtri 2108	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐴}) = ({𝐵} ∖ {𝐴})
10	4, 9	syl6reqr 2139	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐴}) = {𝐵})
11	1, 10	sylbir 133	1 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐴}) = {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1289   ≠ wne 2255   ∖ cdif 2994   ∪ cun 2995   ∩ cin 2996  ∅c0 3284  {csn 3441  {cpr 3442

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-sn 3447  df-pr 3448

This theorem is referenced by:  difprsn2  3572