Theorem difprsn1 3733

Description: Removal of a singleton from an unordered pair. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
difprsn1	⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐴}) = {𝐵})

Proof of Theorem difprsn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		necom 2431	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵)
2		df-pr 3601	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
3	2	equncomi 3283	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐵} ∪ {𝐴})
4	3	difeq1i 3251	. . . 4 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐴}) = (({𝐵} ∪ {𝐴}) ∖ {𝐴})
5		difun2 3504	. . . 4 ⊢ (({𝐵} ∪ {𝐴}) ∖ {𝐴}) = ({𝐵} ∖ {𝐴})
6	4, 5	eqtri 2198	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐴}) = ({𝐵} ∖ {𝐴})
7		disjsn2 3657	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → ({𝐵} ∩ {𝐴}) = ∅)
8		disj3 3477	. . . 4 ⊢ (({𝐵} ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ {𝐵} = ({𝐵} ∖ {𝐴}))
9	7, 8	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → {𝐵} = ({𝐵} ∖ {𝐴}))
10	6, 9	eqtr4id 2229	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐴}) = {𝐵})
11	1, 10	sylbir 135	1 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐴}) = {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ≠ wne 2347   ∖ cdif 3128   ∪ cun 3129   ∩ cin 3130  ∅c0 3424  {csn 3594  {cpr 3595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-sn 3600  df-pr 3601

This theorem is referenced by:  difprsn2  3734