Theorem disjsn2 3768

Description: Intersection of distinct singletons is disjoint. (Contributed by NM, 25-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
disjsn2	|- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )

Proof of Theorem disjsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsni 3723	. . . 4 |- ( B e. { A } -> B = A )
2	1	eqcomd 2244	. . 3 |- ( B e. { A } -> A = B )
3	2	necon3ai 2469	. 2 |- ( A =/= B -> -. B e. { A } )
4		disjsn 3767	. 2 |- ( ( { A } i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. { A } )
5	3, 4	sylibr 134	1 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   i^i cin 3219   (/)c0 3520   {csn 3705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-v 2823  df-dif 3222  df-in 3226  df-nul 3521  df-sn 3711

This theorem is referenced by:  disjpr2  3769  difprsn1  3849  diftpsn3  3851  xpsndisj  5209  funprg  5426  funtp  5429  f1oprg  5680  xp01disjl  6697  enpr2d  7101  phplem1  7143  prfidisj  7224  djuinr  7393  pm54.43  7526  pr2nelem  7527  sumpr  12158  setsfun0  13366  setscom  13370  perfectlem2  16028