Theorem disjsn2 3655

Description: Intersection of distinct singletons is disjoint. (Contributed by NM, 25-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
disjsn2	|- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )

Proof of Theorem disjsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsni 3610	. . . 4 |- ( B e. { A } -> B = A )
2	1	eqcomd 2183	. . 3 |- ( B e. { A } -> A = B )
3	2	necon3ai 2396	. 2 |- ( A =/= B -> -. B e. { A } )
4		disjsn 3654	. 2 |- ( ( { A } i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. { A } )
5	3, 4	sylibr 134	1 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   i^i cin 3128   (/)c0 3422   {csn 3592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-v 2739  df-dif 3131  df-in 3135  df-nul 3423  df-sn 3598

This theorem is referenced by:  disjpr2  3656  difprsn1  3731  diftpsn3  3733  xpsndisj  5055  funprg  5266  funtp  5269  f1oprg  5505  xp01disjl  6434  enpr2d  6816  phplem1  6851  prfidisj  6925  djuinr  7061  pm54.43  7188  pr2nelem  7189  sumpr  11416  setsfun0  12492  setscom  12496