Theorem disjsn2 3732

Description: Intersection of distinct singletons is disjoint. (Contributed by NM, 25-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
disjsn2	|- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )

Proof of Theorem disjsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsni 3687	. . . 4 |- ( B e. { A } -> B = A )
2	1	eqcomd 2237	. . 3 |- ( B e. { A } -> A = B )
3	2	necon3ai 2451	. 2 |- ( A =/= B -> -. B e. { A } )
4		disjsn 3731	. 2 |- ( ( { A } i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. { A } )
5	3, 4	sylibr 134	1 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   i^i cin 3199   (/)c0 3494   {csn 3669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-v 2804  df-dif 3202  df-in 3206  df-nul 3495  df-sn 3675

This theorem is referenced by:  disjpr2  3733  difprsn1  3812  diftpsn3  3814  xpsndisj  5163  funprg  5380  funtp  5383  f1oprg  5630  xp01disjl  6605  enpr2d  7000  phplem1  7041  prfidisj  7122  djuinr  7265  pm54.43  7398  pr2nelem  7399  sumpr  11995  setsfun0  13139  setscom  13143  perfectlem2  15751