Theorem disjsn2 3581

Description: Intersection of distinct singletons is disjoint. (Contributed by NM, 25-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
disjsn2	|- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )

Proof of Theorem disjsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsni 3540	. . . 4 |- ( B e. { A } -> B = A )
2	1	eqcomd 2143	. . 3 |- ( B e. { A } -> A = B )
3	2	necon3ai 2355	. 2 |- ( A =/= B -> -. B e. { A } )
4		disjsn 3580	. 2 |- ( ( { A } i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. { A } )
5	3, 4	sylibr 133	1 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2306   i^i cin 3065   (/)c0 3358   {csn 3522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-v 2683  df-dif 3068  df-in 3072  df-nul 3359  df-sn 3528

This theorem is referenced by:  disjpr2  3582  difprsn1  3654  diftpsn3  3656  xpsndisj  4960  funprg  5168  funtp  5171  f1oprg  5404  xp01disjl  6324  enpr2d  6704  phplem1  6739  prfidisj  6808  djuinr  6941  pm54.43  7039  pr2nelem  7040  sumpr  11175  setsfun0  11984  setscom  11988