Theorem disjsn2 3752

Description: Intersection of distinct singletons is disjoint. (Contributed by NM, 25-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
disjsn2	|- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )

Proof of Theorem disjsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsni 3707	. . . 4 |- ( B e. { A } -> B = A )
2	1	eqcomd 2238	. . 3 |- ( B e. { A } -> A = B )
3	2	necon3ai 2461	. 2 |- ( A =/= B -> -. B e. { A } )
4		disjsn 3751	. 2 |- ( ( { A } i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. { A } )
5	3, 4	sylibr 134	1 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   i^i cin 3210   (/)c0 3508   {csn 3689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-v 2815  df-dif 3213  df-in 3217  df-nul 3509  df-sn 3695

This theorem is referenced by:  disjpr2  3753  difprsn1  3833  diftpsn3  3835  xpsndisj  5189  funprg  5406  funtp  5409  f1oprg  5660  xp01disjl  6667  enpr2d  7064  phplem1  7106  prfidisj  7187  djuinr  7354  pm54.43  7487  pr2nelem  7488  sumpr  12099  setsfun0  13248  setscom  13252  perfectlem2  15868