Theorem disjsn2 3594

Description: Intersection of distinct singletons is disjoint. (Contributed by NM, 25-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
disjsn2	|- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )

Proof of Theorem disjsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsni 3550	. . . 4 |- ( B e. { A } -> B = A )
2	1	eqcomd 2146	. . 3 |- ( B e. { A } -> A = B )
3	2	necon3ai 2358	. 2 |- ( A =/= B -> -. B e. { A } )
4		disjsn 3593	. 2 |- ( ( { A } i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. { A } )
5	3, 4	sylibr 133	1 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 1481   =/= wne 2309   i^i cin 3075   (/)c0 3368   {csn 3532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-v 2691  df-dif 3078  df-in 3082  df-nul 3369  df-sn 3538

This theorem is referenced by:  disjpr2  3595  difprsn1  3667  diftpsn3  3669  xpsndisj  4973  funprg  5181  funtp  5184  f1oprg  5419  xp01disjl  6339  enpr2d  6719  phplem1  6754  prfidisj  6823  djuinr  6956  pm54.43  7063  pr2nelem  7064  sumpr  11214  setsfun0  12034  setscom  12038