Theorem ertr4d 6456

Description: A transitivity relation for equivalences. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ersymb.1	|- ( ph -> R Er X )
ertr4d.5	|- ( ph -> A R B )
ertr4d.6	|- ( ph -> C R B )

Assertion

Ref	Expression
ertr4d	|- ( ph -> A R C )

Proof of Theorem ertr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ersymb.1	. 2 |- ( ph -> R Er X )
2		ertr4d.5	. 2 |- ( ph -> A R B )
3		ertr4d.6	. . 3 |- ( ph -> C R B )
4	1, 3	ersym 6449	. 2 |- ( ph -> B R C )
5	1, 2, 4	ertrd 6453	1 |- ( ph -> A R C )

Syntax hints:   -> wi 4   class class class wbr 3937   Er wer 6434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-er 6437

This theorem is referenced by:  erref  6457