Theorem ersym 6525

Description: An equivalence relation is symmetric. (Contributed by NM, 4-Jun-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ersym.1	|- ( ph -> R Er X )
ersym.2	|- ( ph -> A R B )

Assertion

Ref	Expression
ersym	|- ( ph -> B R A )

Proof of Theorem ersym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ersym.2	. . 3 |- ( ph -> A R B )
2		ersym.1	. . . . . 6 |- ( ph -> R Er X )
3		errel 6522	. . . . . 6 |- ( R Er X -> Rel R )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> Rel R )
5		brrelex12 4649	. . . . 5 |- ( ( Rel R /\ A R B ) -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
6	4, 1, 5	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
7		brcnvg 4792	. . . . 5 |- ( ( B e. _V /\ A e. _V ) -> ( B `' R A <-> A R B ) )
8	7	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( B `' R A <-> A R B ) )
9	6, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( B `' R A <-> A R B ) )
10	1, 9	mpbird 166	. 2 |- ( ph -> B `' R A )
11		df-er 6513	. . . . . 6 |- ( R Er X <-> ( Rel R /\ dom R = X /\ ( `' R u. ( R o. R ) ) C_ R ) )
12	11	simp3bi 1009	. . . . 5 |- ( R Er X -> ( `' R u. ( R o. R ) ) C_ R )
13	2, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( `' R u. ( R o. R ) ) C_ R )
14	13	unssad 3304	. . 3 |- ( ph -> `' R C_ R )
15	14	ssbrd 4032	. 2 |- ( ph -> ( B `' R A -> B R A ) )
16	10, 15	mpd 13	1 |- ( ph -> B R A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   u. cun 3119   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   `'ccnv 4610   dom cdm 4611   o. ccom 4615   Rel wrel 4616   Er wer 6510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-er 6513

This theorem is referenced by:  ercl2  6526  ersymb  6527  ertr2d  6530  ertr3d  6531  ertr4d  6532  erth  6557  erinxp  6587