Theorem f1eq123d 5575

Description: Equality deduction for one-to-one functions. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1eq123d.1	|- ( ph -> F = G )
f1eq123d.2	|- ( ph -> A = B )
f1eq123d.3	|- ( ph -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
f1eq123d	|- ( ph -> ( F : A -1-1-> C <-> G : B -1-1-> D ) )

Proof of Theorem f1eq123d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1eq123d.1	. . 3 |- ( ph -> F = G )
2		f1eq1 5537	. . 3 |- ( F = G -> ( F : A -1-1-> C <-> G : A -1-1-> C ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( F : A -1-1-> C <-> G : A -1-1-> C ) )
4		f1eq123d.2	. . 3 |- ( ph -> A = B )
5		f1eq2 5538	. . 3 |- ( A = B -> ( G : A -1-1-> C <-> G : B -1-1-> C ) )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( G : A -1-1-> C <-> G : B -1-1-> C ) )
7		f1eq123d.3	. . 3 |- ( ph -> C = D )
8		f1eq3 5539	. . 3 |- ( C = D -> ( G : B -1-1-> C <-> G : B -1-1-> D ) )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( G : B -1-1-> C <-> G : B -1-1-> D ) )
10	3, 6, 9	3bitrd 214	1 |- ( ph -> ( F : A -1-1-> C <-> G : B -1-1-> D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1397   -1-1->wf1 5323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331

This theorem is referenced by:  f10d  5619  isushgrm  15922  isuspgren  16007  isusgren  16008  isuspgropen  16014  isusgropen  16015  ausgrusgrben  16018  ausgrusgrien  16021  usgrstrrepeen  16081  uspgr1edc  16090  uspgr2wlkeq  16215