Theorem f1eq123d 5584

Description: Equality deduction for one-to-one functions. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1eq123d.1	|- ( ph -> F = G )
f1eq123d.2	|- ( ph -> A = B )
f1eq123d.3	|- ( ph -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
f1eq123d	|- ( ph -> ( F : A -1-1-> C <-> G : B -1-1-> D ) )

Proof of Theorem f1eq123d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1eq123d.1	. . 3 |- ( ph -> F = G )
2		f1eq1 5546	. . 3 |- ( F = G -> ( F : A -1-1-> C <-> G : A -1-1-> C ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( F : A -1-1-> C <-> G : A -1-1-> C ) )
4		f1eq123d.2	. . 3 |- ( ph -> A = B )
5		f1eq2 5547	. . 3 |- ( A = B -> ( G : A -1-1-> C <-> G : B -1-1-> C ) )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( G : A -1-1-> C <-> G : B -1-1-> C ) )
7		f1eq123d.3	. . 3 |- ( ph -> C = D )
8		f1eq3 5548	. . 3 |- ( C = D -> ( G : B -1-1-> C <-> G : B -1-1-> D ) )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( G : B -1-1-> C <-> G : B -1-1-> D ) )
10	3, 6, 9	3bitrd 214	1 |- ( ph -> ( F : A -1-1-> C <-> G : B -1-1-> D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   -1-1->wf1 5330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338

This theorem is referenced by:  f10d  5628  isushgrm  16013  isuspgren  16098  isusgren  16099  isuspgropen  16105  isusgropen  16106  ausgrusgrben  16109  ausgrusgrien  16112  usgrstrrepeen  16172  uspgr1edc  16181  uspgr2wlkeq  16306