Theorem f1eq1 5323

Description: Equality theorem for one-to-one functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1eq1	|- ( F = G -> ( F : A -1-1-> B <-> G : A -1-1-> B ) )

Proof of Theorem f1eq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq1 5255	. . 3 |- ( F = G -> ( F : A --> B <-> G : A --> B ) )
2		cnveq 4713	. . . 4 |- ( F = G -> `' F = `' G )
3	2	funeqd 5145	. . 3 |- ( F = G -> ( Fun `' F <-> Fun `' G ) )
4	1, 3	anbi12d 464	. 2 |- ( F = G -> ( ( F : A --> B /\ Fun `' F ) <-> ( G : A --> B /\ Fun `' G ) ) )
5		df-f1 5128	. 2 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ Fun `' F ) )
6		df-f1 5128	. 2 |- ( G : A -1-1-> B <-> ( G : A --> B /\ Fun `' G ) )
7	4, 5, 6	3bitr4g 222	1 |- ( F = G -> ( F : A -1-1-> B <-> G : A -1-1-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   `'ccnv 4538   Fun wfun 5117   -->wf 5119   -1-1->wf1 5120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128

This theorem is referenced by:  f1oeq1  5356  f1eq123d  5360  fun11iun  5388  fo00  5403  tposf12  6166  f1dom2g  6650  f1domg  6652  dom3d  6668  domtr  6679  djudom  6978  difinfsn  6985  djudoml  7075  djudomr  7076