Theorem f1eq1 5331

Description: Equality theorem for one-to-one functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1eq1	|- ( F = G -> ( F : A -1-1-> B <-> G : A -1-1-> B ) )

Proof of Theorem f1eq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq1 5263	. . 3 |- ( F = G -> ( F : A --> B <-> G : A --> B ) )
2		cnveq 4721	. . . 4 |- ( F = G -> `' F = `' G )
3	2	funeqd 5153	. . 3 |- ( F = G -> ( Fun `' F <-> Fun `' G ) )
4	1, 3	anbi12d 465	. 2 |- ( F = G -> ( ( F : A --> B /\ Fun `' F ) <-> ( G : A --> B /\ Fun `' G ) ) )
5		df-f1 5136	. 2 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ Fun `' F ) )
6		df-f1 5136	. 2 |- ( G : A -1-1-> B <-> ( G : A --> B /\ Fun `' G ) )
7	4, 5, 6	3bitr4g 222	1 |- ( F = G -> ( F : A -1-1-> B <-> G : A -1-1-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   `'ccnv 4546   Fun wfun 5125   -->wf 5127   -1-1->wf1 5128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136

This theorem is referenced by:  f1oeq1  5364  f1eq123d  5368  fun11iun  5396  fo00  5411  tposf12  6174  f1dom2g  6658  f1domg  6660  dom3d  6676  domtr  6687  djudom  6986  difinfsn  6993  djudoml  7092  djudomr  7093