Theorem f1eq1 5387

Description: Equality theorem for one-to-one functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1eq1	|- ( F = G -> ( F : A -1-1-> B <-> G : A -1-1-> B ) )

Proof of Theorem f1eq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq1 5319	. . 3 |- ( F = G -> ( F : A --> B <-> G : A --> B ) )
2		cnveq 4777	. . . 4 |- ( F = G -> `' F = `' G )
3	2	funeqd 5209	. . 3 |- ( F = G -> ( Fun `' F <-> Fun `' G ) )
4	1, 3	anbi12d 465	. 2 |- ( F = G -> ( ( F : A --> B /\ Fun `' F ) <-> ( G : A --> B /\ Fun `' G ) ) )
5		df-f1 5192	. 2 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ Fun `' F ) )
6		df-f1 5192	. 2 |- ( G : A -1-1-> B <-> ( G : A --> B /\ Fun `' G ) )
7	4, 5, 6	3bitr4g 222	1 |- ( F = G -> ( F : A -1-1-> B <-> G : A -1-1-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   `'ccnv 4602   Fun wfun 5181   -->wf 5183   -1-1->wf1 5184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-v 2727  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-br 3982  df-opab 4043  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192

This theorem is referenced by:  f1oeq1  5420  f1eq123d  5424  fun11iun  5452  fo00  5467  tposf12  6233  f1dom2g  6718  f1domg  6720  dom3d  6736  domtr  6747  djudom  7054  difinfsn  7061  djudoml  7171  djudomr  7172  nninfdc  12382