ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1eq1 Unicode version

Theorem f1eq1 5224
Description: Equality theorem for one-to-one functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)
Assertion
Ref Expression
f1eq1  |-  ( F  =  G  ->  ( F : A -1-1-> B  <->  G : A -1-1-> B ) )

Proof of Theorem f1eq1
StepHypRef Expression
1 feq1 5158 . . 3  |-  ( F  =  G  ->  ( F : A --> B  <->  G : A
--> B ) )
2 cnveq 4623 . . . 4  |-  ( F  =  G  ->  `' F  =  `' G
)
32funeqd 5050 . . 3  |-  ( F  =  G  ->  ( Fun  `' F  <->  Fun  `' G ) )
41, 3anbi12d 458 . 2  |-  ( F  =  G  ->  (
( F : A --> B  /\  Fun  `' F
)  <->  ( G : A
--> B  /\  Fun  `' G ) ) )
5 df-f1 5033 . 2  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  Fun  `' F ) )
6 df-f1 5033 . 2  |-  ( G : A -1-1-> B  <->  ( G : A --> B  /\  Fun  `' G ) )
74, 5, 63bitr4g 222 1  |-  ( F  =  G  ->  ( F : A -1-1-> B  <->  G : A -1-1-> B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1290   `'ccnv 4451   Fun wfun 5022   -->wf 5024   -1-1->wf1 5025
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-br 3852  df-opab 3906  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033
This theorem is referenced by:  f1oeq1  5257  f1eq123d  5261  fun11iun  5287  fo00  5302  tposf12  6048  f1dom2g  6527  f1domg  6529  dom3d  6545  domtr  6556  djudom  6837
  Copyright terms: Public domain W3C validator