Theorem f1eq1 5596

Description: Equality theorem for one-to-one functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1eq1	|- ( F = G -> ( F : A -1-1-> B <-> G : A -1-1-> B ) )

Proof of Theorem f1eq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq1 5519	. . 3 |- ( F = G -> ( F : A --> B <-> G : A --> B ) )
2		cnveq 4956	. . . 4 |- ( F = G -> `' F = `' G )
3	2	funeqd 5402	. . 3 |- ( F = G -> ( Fun `' F <-> Fun `' G ) )
4	1, 3	anbi12d 477	. 2 |- ( F = G -> ( ( F : A --> B /\ Fun `' F ) <-> ( G : A --> B /\ Fun `' G ) ) )
5		df-f1 5385	. 2 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ Fun `' F ) )
6		df-f1 5385	. 2 |- ( G : A -1-1-> B <-> ( G : A --> B /\ Fun `' G ) )
7	4, 5, 6	3bitr4g 223	1 |- ( F = G -> ( F : A -1-1-> B <-> G : A -1-1-> B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   `'ccnv 4775   Fun wfun 5374   -->wf 5376   -1-1->wf1 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-opab 4194  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385

This theorem is used by:  f1oeq1  5630  f1eq123d  5634  fun11iun  5663  fo00  5680  tposf12  6544  f1dom4g  7043  f1dom2g  7046  f1domg  7048  dom3d  7064  domtr  7076  dom1o  7120  f1setfi  7322  djudom  7439  difinfsn  7446  djudoml  7581  djudomr  7582  hashf1lem1  11307  hashf1lem2  11308  hashf1  11309  4sqlem11  13209  nninfdc  13402  conjsubgen  14140