Theorem f1eq1 5428

Description: Equality theorem for one-to-one functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1eq1	|- ( F = G -> ( F : A -1-1-> B <-> G : A -1-1-> B ) )

Proof of Theorem f1eq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq1 5360	. . 3 |- ( F = G -> ( F : A --> B <-> G : A --> B ) )
2		cnveq 4813	. . . 4 |- ( F = G -> `' F = `' G )
3	2	funeqd 5250	. . 3 |- ( F = G -> ( Fun `' F <-> Fun `' G ) )
4	1, 3	anbi12d 473	. 2 |- ( F = G -> ( ( F : A --> B /\ Fun `' F ) <-> ( G : A --> B /\ Fun `' G ) ) )
5		df-f1 5233	. 2 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ Fun `' F ) )
6		df-f1 5233	. 2 |- ( G : A -1-1-> B <-> ( G : A --> B /\ Fun `' G ) )
7	4, 5, 6	3bitr4g 223	1 |- ( F = G -> ( F : A -1-1-> B <-> G : A -1-1-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1363   `'ccnv 4637   Fun wfun 5222   -->wf 5224   -1-1->wf1 5225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-br 4016  df-opab 4077  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233

This theorem is referenced by:  f1oeq1  5461  f1eq123d  5465  fun11iun  5494  fo00  5509  tposf12  6284  f1dom2g  6770  f1domg  6772  dom3d  6788  domtr  6799  djudom  7106  difinfsn  7113  djudoml  7232  djudomr  7233  nninfdc  12468  conjsubgen  13172