ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1eq1 Unicode version

Theorem f1eq1 5205
Description: Equality theorem for one-to-one functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)
Assertion
Ref Expression
f1eq1  |-  ( F  =  G  ->  ( F : A -1-1-> B  <->  G : A -1-1-> B ) )

Proof of Theorem f1eq1
StepHypRef Expression
1 feq1 5139 . . 3  |-  ( F  =  G  ->  ( F : A --> B  <->  G : A
--> B ) )
2 cnveq 4606 . . . 4  |-  ( F  =  G  ->  `' F  =  `' G
)
32funeqd 5031 . . 3  |-  ( F  =  G  ->  ( Fun  `' F  <->  Fun  `' G ) )
41, 3anbi12d 457 . 2  |-  ( F  =  G  ->  (
( F : A --> B  /\  Fun  `' F
)  <->  ( G : A
--> B  /\  Fun  `' G ) ) )
5 df-f1 5015 . 2  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  Fun  `' F ) )
6 df-f1 5015 . 2  |-  ( G : A -1-1-> B  <->  ( G : A --> B  /\  Fun  `' G ) )
74, 5, 63bitr4g 221 1  |-  ( F  =  G  ->  ( F : A -1-1-> B  <->  G : A -1-1-> B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289   `'ccnv 4435   Fun wfun 5004   -->wf 5006   -1-1->wf1 5007
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-br 3844  df-opab 3898  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015
This theorem is referenced by:  f1oeq1  5238  f1eq123d  5242  fun11iun  5268  fo00  5283  tposf12  6026  f1dom2g  6463  f1domg  6465  dom3d  6481  domtr  6492  djudom  6777
  Copyright terms: Public domain W3C validator