Theorem f1eq1 5588

Description: Equality theorem for one-to-one functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1eq1	|- ( F = G -> ( F : A -1-1-> B <-> G : A -1-1-> B ) )

Proof of Theorem f1eq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq1 5511	. . 3 |- ( F = G -> ( F : A --> B <-> G : A --> B ) )
2		cnveq 4949	. . . 4 |- ( F = G -> `' F = `' G )
3	2	funeqd 5394	. . 3 |- ( F = G -> ( Fun `' F <-> Fun `' G ) )
4	1, 3	anbi12d 477	. 2 |- ( F = G -> ( ( F : A --> B /\ Fun `' F ) <-> ( G : A --> B /\ Fun `' G ) ) )
5		df-f1 5377	. 2 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ Fun `' F ) )
6		df-f1 5377	. 2 |- ( G : A -1-1-> B <-> ( G : A --> B /\ Fun `' G ) )
7	4, 5, 6	3bitr4g 223	1 |- ( F = G -> ( F : A -1-1-> B <-> G : A -1-1-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   `'ccnv 4768   Fun wfun 5366   -->wf 5368   -1-1->wf1 5369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-opab 4188  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377

This theorem is referenced by:  f1oeq1  5622  f1eq123d  5626  fun11iun  5655  fo00  5672  tposf12  6530  f1dom4g  7029  f1dom2g  7032  f1domg  7034  dom3d  7050  domtr  7062  dom1o  7106  f1setfi  7307  djudom  7423  difinfsn  7430  djudoml  7565  djudomr  7566  hashf1lem1  11263  hashf1lem2  11264  hashf1  11265  4sqlem11  13158  nninfdc  13322  conjsubgen  14058