Theorem f1eq1 5526

Description: Equality theorem for one-to-one functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1eq1	|- ( F = G -> ( F : A -1-1-> B <-> G : A -1-1-> B ) )

Proof of Theorem f1eq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq1 5456	. . 3 |- ( F = G -> ( F : A --> B <-> G : A --> B ) )
2		cnveq 4896	. . . 4 |- ( F = G -> `' F = `' G )
3	2	funeqd 5340	. . 3 |- ( F = G -> ( Fun `' F <-> Fun `' G ) )
4	1, 3	anbi12d 473	. 2 |- ( F = G -> ( ( F : A --> B /\ Fun `' F ) <-> ( G : A --> B /\ Fun `' G ) ) )
5		df-f1 5323	. 2 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ Fun `' F ) )
6		df-f1 5323	. 2 |- ( G : A -1-1-> B <-> ( G : A --> B /\ Fun `' G ) )
7	4, 5, 6	3bitr4g 223	1 |- ( F = G -> ( F : A -1-1-> B <-> G : A -1-1-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   `'ccnv 4718   Fun wfun 5312   -->wf 5314   -1-1->wf1 5315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323

This theorem is referenced by:  f1oeq1  5560  f1eq123d  5564  fun11iun  5593  fo00  5609  tposf12  6415  f1dom4g  6904  f1dom2g  6907  f1domg  6909  dom3d  6925  domtr  6937  dom1o  6977  djudom  7260  difinfsn  7267  djudoml  7401  djudomr  7402  4sqlem11  12924  nninfdc  13024  conjsubgen  13815