Theorem f1eq1 5570

Description: Equality theorem for one-to-one functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1eq1	|- ( F = G -> ( F : A -1-1-> B <-> G : A -1-1-> B ) )

Proof of Theorem f1eq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq1 5493	. . 3 |- ( F = G -> ( F : A --> B <-> G : A --> B ) )
2		cnveq 4931	. . . 4 |- ( F = G -> `' F = `' G )
3	2	funeqd 5376	. . 3 |- ( F = G -> ( Fun `' F <-> Fun `' G ) )
4	1, 3	anbi12d 473	. 2 |- ( F = G -> ( ( F : A --> B /\ Fun `' F ) <-> ( G : A --> B /\ Fun `' G ) ) )
5		df-f1 5359	. 2 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ Fun `' F ) )
6		df-f1 5359	. 2 |- ( G : A -1-1-> B <-> ( G : A --> B /\ Fun `' G ) )
7	4, 5, 6	3bitr4g 223	1 |- ( F = G -> ( F : A -1-1-> B <-> G : A -1-1-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   `'ccnv 4750   Fun wfun 5348   -->wf 5350   -1-1->wf1 5351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-br 4112  df-opab 4174  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359

This theorem is referenced by:  f1oeq1  5604  f1eq123d  5608  fun11iun  5637  fo00  5654  tposf12  6502  f1dom4g  6994  f1dom2g  6997  f1domg  6999  dom3d  7015  domtr  7027  dom1o  7071  djudom  7386  difinfsn  7393  djudoml  7528  djudomr  7529  4sqlem11  13103  nninfdc  13221  conjsubgen  14012