Theorem fiinbas 12255

Description: If a set is closed under finite intersection, then it is a basis for a topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fiinbas	|- ( ( B e. C /\ A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) e. B ) -> B e. TopBases )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, C, y

Proof of Theorem fiinbas

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3122	. . . . . . . 8 |- ( x i^i y ) C_ ( x i^i y )
2		eleq2 2204	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( x i^i y ) -> ( z e. w <-> z e. ( x i^i y ) ) )
3		sseq1 3125	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( x i^i y ) -> ( w C_ ( x i^i y ) <-> ( x i^i y ) C_ ( x i^i y ) ) )
4	2, 3	anbi12d 465	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( x i^i y ) -> ( ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) <-> ( z e. ( x i^i y ) /\ ( x i^i y ) C_ ( x i^i y ) ) ) )
5	4	rspcev 2793	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x i^i y ) e. B /\ ( z e. ( x i^i y ) /\ ( x i^i y ) C_ ( x i^i y ) ) ) -> E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
6	1, 5	mpanr2 435	. . . . . . 7 |- ( ( ( x i^i y ) e. B /\ z e. ( x i^i y ) ) -> E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
7	6	ralrimiva 2508	. . . . . 6 |- ( ( x i^i y ) e. B -> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( B e. C -> ( ( x i^i y ) e. B -> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
9	8	ralimdv 2503	. . . 4 |- ( B e. C -> ( A. y e. B ( x i^i y ) e. B -> A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
10	9	ralimdv 2503	. . 3 |- ( B e. C -> ( A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) e. B -> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
11		isbasis2g 12251	. . 3 |- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
12	10, 11	sylibrd 168	. 2 |- ( B e. C -> ( A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) e. B -> B e. TopBases ) )
13	12	imp 123	1 |- ( ( B e. C /\ A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) e. B ) -> B e. TopBases )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   i^i cin 3075   C_ wss 3076   TopBasesctb 12248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-uni 3745  df-bases 12249

This theorem is referenced by:  qtopbasss  12729