Theorem fiinbas 12205

Description: If a set is closed under finite intersection, then it is a basis for a topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fiinbas	|- ( ( B e. C /\ A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) e. B ) -> B e. TopBases )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, C, y

Proof of Theorem fiinbas

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3112	. . . . . . . 8 |- ( x i^i y ) C_ ( x i^i y )
2		eleq2 2201	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( x i^i y ) -> ( z e. w <-> z e. ( x i^i y ) ) )
3		sseq1 3115	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( x i^i y ) -> ( w C_ ( x i^i y ) <-> ( x i^i y ) C_ ( x i^i y ) ) )
4	2, 3	anbi12d 464	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( x i^i y ) -> ( ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) <-> ( z e. ( x i^i y ) /\ ( x i^i y ) C_ ( x i^i y ) ) ) )
5	4	rspcev 2784	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x i^i y ) e. B /\ ( z e. ( x i^i y ) /\ ( x i^i y ) C_ ( x i^i y ) ) ) -> E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
6	1, 5	mpanr2 434	. . . . . . 7 |- ( ( ( x i^i y ) e. B /\ z e. ( x i^i y ) ) -> E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
7	6	ralrimiva 2503	. . . . . 6 |- ( ( x i^i y ) e. B -> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( B e. C -> ( ( x i^i y ) e. B -> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
9	8	ralimdv 2498	. . . 4 |- ( B e. C -> ( A. y e. B ( x i^i y ) e. B -> A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
10	9	ralimdv 2498	. . 3 |- ( B e. C -> ( A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) e. B -> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
11		isbasis2g 12201	. . 3 |- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
12	10, 11	sylibrd 168	. 2 |- ( B e. C -> ( A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) e. B -> B e. TopBases ) )
13	12	imp 123	1 |- ( ( B e. C /\ A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) e. B ) -> B e. TopBases )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   i^i cin 3065   C_ wss 3066   TopBasesctb 12198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-uni 3732  df-bases 12199

This theorem is referenced by:  qtopbasss  12679