Theorem fiinbas 13776

Description: If a set is closed under finite intersection, then it is a basis for a topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fiinbas	|- ( ( B e. C /\ A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) e. B ) -> B e. TopBases )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, C, y

Proof of Theorem fiinbas

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3187	. . . . . . . 8 |- ( x i^i y ) C_ ( x i^i y )
2		eleq2 2251	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( x i^i y ) -> ( z e. w <-> z e. ( x i^i y ) ) )
3		sseq1 3190	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( x i^i y ) -> ( w C_ ( x i^i y ) <-> ( x i^i y ) C_ ( x i^i y ) ) )
4	2, 3	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( x i^i y ) -> ( ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) <-> ( z e. ( x i^i y ) /\ ( x i^i y ) C_ ( x i^i y ) ) ) )
5	4	rspcev 2853	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x i^i y ) e. B /\ ( z e. ( x i^i y ) /\ ( x i^i y ) C_ ( x i^i y ) ) ) -> E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
6	1, 5	mpanr2 438	. . . . . . 7 |- ( ( ( x i^i y ) e. B /\ z e. ( x i^i y ) ) -> E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
7	6	ralrimiva 2560	. . . . . 6 |- ( ( x i^i y ) e. B -> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( B e. C -> ( ( x i^i y ) e. B -> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
9	8	ralimdv 2555	. . . 4 |- ( B e. C -> ( A. y e. B ( x i^i y ) e. B -> A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
10	9	ralimdv 2555	. . 3 |- ( B e. C -> ( A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) e. B -> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
11		isbasis2g 13772	. . 3 |- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
12	10, 11	sylibrd 169	. 2 |- ( B e. C -> ( A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) e. B -> B e. TopBases ) )
13	12	imp 124	1 |- ( ( B e. C /\ A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) e. B ) -> B e. TopBases )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   e. wcel 2158   A.wral 2465   E.wrex 2466   i^i cin 3140   C_ wss 3141   TopBasesctb 13769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-uni 3822  df-bases 13770

This theorem is referenced by:  qtopbasss  14248