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Theorem fiinbas 12225
Description: If a set is closed under finite intersection, then it is a basis for a topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fiinbas  |-  ( ( B  e.  C  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  i^i  y )  e.  B )  ->  B  e. 
TopBases )
Distinct variable groups:    x, B, y   
x, C, y

Proof of Theorem fiinbas
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3117 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  y )  C_  ( x  i^i  y
)
2 eleq2 2203 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  i^i  y )  ->  (
z  e.  w  <->  z  e.  ( x  i^i  y
) ) )
3 sseq1 3120 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  i^i  y )  ->  (
w  C_  ( x  i^i  y )  <->  ( x  i^i  y )  C_  (
x  i^i  y )
) )
42, 3anbi12d 464 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( x  i^i  y )  ->  (
( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) )  <-> 
( z  e.  ( x  i^i  y )  /\  ( x  i^i  y )  C_  (
x  i^i  y )
) ) )
54rspcev 2789 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  i^i  y
)  e.  B  /\  ( z  e.  ( x  i^i  y )  /\  ( x  i^i  y )  C_  (
x  i^i  y )
) )  ->  E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
61, 5mpanr2 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  i^i  y
)  e.  B  /\  z  e.  ( x  i^i  y ) )  ->  E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) )
76ralrimiva 2505 . . . . . 6  |-  ( ( x  i^i  y )  e.  B  ->  A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
87a1i 9 . . . . 5  |-  ( B  e.  C  ->  (
( x  i^i  y
)  e.  B  ->  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
98ralimdv 2500 . . . 4  |-  ( B  e.  C  ->  ( A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  e.  B  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
109ralimdv 2500 . . 3  |-  ( B  e.  C  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  e.  B  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
11 isbasis2g 12221 . . 3  |-  ( B  e.  C  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
1210, 11sylibrd 168 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  e.  B  ->  B  e.  TopBases ) )
1312imp 123 1  |-  ( ( B  e.  C  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  i^i  y )  e.  B )  ->  B  e. 
TopBases )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417    i^i cin 3070    C_ wss 3071   TopBasesctb 12218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-uni 3737  df-bases 12219
This theorem is referenced by:  qtopbasss  12699
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