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Theorem fiinbas 13946
Description: If a set is closed under finite intersection, then it is a basis for a topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fiinbas  |-  ( ( B  e.  C  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  i^i  y )  e.  B )  ->  B  e. 
TopBases )
Distinct variable groups:    x, B, y   
x, C, y

Proof of Theorem fiinbas
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3190 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  y )  C_  ( x  i^i  y
)
2 eleq2 2253 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  i^i  y )  ->  (
z  e.  w  <->  z  e.  ( x  i^i  y
) ) )
3 sseq1 3193 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  i^i  y )  ->  (
w  C_  ( x  i^i  y )  <->  ( x  i^i  y )  C_  (
x  i^i  y )
) )
42, 3anbi12d 473 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( x  i^i  y )  ->  (
( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) )  <-> 
( z  e.  ( x  i^i  y )  /\  ( x  i^i  y )  C_  (
x  i^i  y )
) ) )
54rspcev 2856 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  i^i  y
)  e.  B  /\  ( z  e.  ( x  i^i  y )  /\  ( x  i^i  y )  C_  (
x  i^i  y )
) )  ->  E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
61, 5mpanr2 438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  i^i  y
)  e.  B  /\  z  e.  ( x  i^i  y ) )  ->  E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) )
76ralrimiva 2563 . . . . . 6  |-  ( ( x  i^i  y )  e.  B  ->  A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
87a1i 9 . . . . 5  |-  ( B  e.  C  ->  (
( x  i^i  y
)  e.  B  ->  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
98ralimdv 2558 . . . 4  |-  ( B  e.  C  ->  ( A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  e.  B  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
109ralimdv 2558 . . 3  |-  ( B  e.  C  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  e.  B  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
11 isbasis2g 13942 . . 3  |-  ( B  e.  C  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
1210, 11sylibrd 169 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  e.  B  ->  B  e.  TopBases ) )
1312imp 124 1  |-  ( ( B  e.  C  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  i^i  y )  e.  B )  ->  B  e. 
TopBases )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469    i^i cin 3143    C_ wss 3144   TopBasesctb 13939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-uni 3825  df-bases 13940
This theorem is referenced by:  qtopbasss  14418
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