Theorem basis2 14284

Description: Property of a basis. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
basis2	|- ( ( ( B e. TopBases /\ C e. B ) /\ ( D e. B /\ A e. ( C i^i D ) ) ) -> E. x e. B ( A e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, D

Proof of Theorem basis2

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbasis2g 14281	. . . . 5 |- ( B e. TopBases -> ( B e. TopBases <-> A. y e. B A. z e. B A. w e. ( y i^i z ) E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( y i^i z ) ) ) )
2	1	ibi 176	. . . 4 |- ( B e. TopBases -> A. y e. B A. z e. B A. w e. ( y i^i z ) E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( y i^i z ) ) )
3		ineq1 3357	. . . . . . 7 |- ( y = C -> ( y i^i z ) = ( C i^i z ) )
4		sseq2 3207	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y i^i z ) = ( C i^i z ) -> ( x C_ ( y i^i z ) <-> x C_ ( C i^i z ) ) )
5	4	anbi2d 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( y i^i z ) = ( C i^i z ) -> ( ( w e. x /\ x C_ ( y i^i z ) ) <-> ( w e. x /\ x C_ ( C i^i z ) ) ) )
6	5	rexbidv 2498	. . . . . . . 8 |- ( ( y i^i z ) = ( C i^i z ) -> ( E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( y i^i z ) ) <-> E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( C i^i z ) ) ) )
7	6	raleqbi1dv 2705	. . . . . . 7 |- ( ( y i^i z ) = ( C i^i z ) -> ( A. w e. ( y i^i z ) E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( y i^i z ) ) <-> A. w e. ( C i^i z ) E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( C i^i z ) ) ) )
8	3, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( y = C -> ( A. w e. ( y i^i z ) E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( y i^i z ) ) <-> A. w e. ( C i^i z ) E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( C i^i z ) ) ) )
9		ineq2 3358	. . . . . . 7 |- ( z = D -> ( C i^i z ) = ( C i^i D ) )
10		sseq2 3207	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C i^i z ) = ( C i^i D ) -> ( x C_ ( C i^i z ) <-> x C_ ( C i^i D ) ) )
11	10	anbi2d 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( C i^i z ) = ( C i^i D ) -> ( ( w e. x /\ x C_ ( C i^i z ) ) <-> ( w e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) ) )
12	11	rexbidv 2498	. . . . . . . 8 |- ( ( C i^i z ) = ( C i^i D ) -> ( E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( C i^i z ) ) <-> E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) ) )
13	12	raleqbi1dv 2705	. . . . . . 7 |- ( ( C i^i z ) = ( C i^i D ) -> ( A. w e. ( C i^i z ) E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( C i^i z ) ) <-> A. w e. ( C i^i D ) E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) ) )
14	9, 13	syl 14	. . . . . 6 |- ( z = D -> ( A. w e. ( C i^i z ) E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( C i^i z ) ) <-> A. w e. ( C i^i D ) E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) ) )
15	8, 14	rspc2v 2881	. . . . 5 |- ( ( C e. B /\ D e. B ) -> ( A. y e. B A. z e. B A. w e. ( y i^i z ) E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( y i^i z ) ) -> A. w e. ( C i^i D ) E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) ) )
16		eleq1 2259	. . . . . . . 8 |- ( w = A -> ( w e. x <-> A e. x ) )
17	16	anbi1d 465	. . . . . . 7 |- ( w = A -> ( ( w e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) <-> ( A e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) ) )
18	17	rexbidv 2498	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) <-> E. x e. B ( A e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) ) )
19	18	rspccv 2865	. . . . 5 |- ( A. w e. ( C i^i D ) E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) -> ( A e. ( C i^i D ) -> E. x e. B ( A e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) ) )
20	15, 19	syl6com 35	. . . 4 |- ( A. y e. B A. z e. B A. w e. ( y i^i z ) E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( y i^i z ) ) -> ( ( C e. B /\ D e. B ) -> ( A e. ( C i^i D ) -> E. x e. B ( A e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) ) ) )
21	2, 20	syl 14	. . 3 |- ( B e. TopBases -> ( ( C e. B /\ D e. B ) -> ( A e. ( C i^i D ) -> E. x e. B ( A e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) ) ) )
22	21	expd 258	. 2 |- ( B e. TopBases -> ( C e. B -> ( D e. B -> ( A e. ( C i^i D ) -> E. x e. B ( A e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) ) ) ) )
23	22	imp43 355	1 |- ( ( ( B e. TopBases /\ C e. B ) /\ ( D e. B /\ A e. ( C i^i D ) ) ) -> E. x e. B ( A e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   i^i cin 3156   C_ wss 3157   TopBasesctb 14278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-uni 3840  df-bases 14279

This theorem is referenced by:  tgcl  14300  restbasg  14404  txbas  14494  tgioo  14790