Theorem basis2 13633

Description: Property of a basis. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
basis2	|- ( ( ( B e. TopBases /\ C e. B ) /\ ( D e. B /\ A e. ( C i^i D ) ) ) -> E. x e. B ( A e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, D

Proof of Theorem basis2

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbasis2g 13630	. . . . 5 |- ( B e. TopBases -> ( B e. TopBases <-> A. y e. B A. z e. B A. w e. ( y i^i z ) E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( y i^i z ) ) ) )
2	1	ibi 176	. . . 4 |- ( B e. TopBases -> A. y e. B A. z e. B A. w e. ( y i^i z ) E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( y i^i z ) ) )
3		ineq1 3331	. . . . . . 7 |- ( y = C -> ( y i^i z ) = ( C i^i z ) )
4		sseq2 3181	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y i^i z ) = ( C i^i z ) -> ( x C_ ( y i^i z ) <-> x C_ ( C i^i z ) ) )
5	4	anbi2d 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( y i^i z ) = ( C i^i z ) -> ( ( w e. x /\ x C_ ( y i^i z ) ) <-> ( w e. x /\ x C_ ( C i^i z ) ) ) )
6	5	rexbidv 2478	. . . . . . . 8 |- ( ( y i^i z ) = ( C i^i z ) -> ( E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( y i^i z ) ) <-> E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( C i^i z ) ) ) )
7	6	raleqbi1dv 2681	. . . . . . 7 |- ( ( y i^i z ) = ( C i^i z ) -> ( A. w e. ( y i^i z ) E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( y i^i z ) ) <-> A. w e. ( C i^i z ) E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( C i^i z ) ) ) )
8	3, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( y = C -> ( A. w e. ( y i^i z ) E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( y i^i z ) ) <-> A. w e. ( C i^i z ) E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( C i^i z ) ) ) )
9		ineq2 3332	. . . . . . 7 |- ( z = D -> ( C i^i z ) = ( C i^i D ) )
10		sseq2 3181	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C i^i z ) = ( C i^i D ) -> ( x C_ ( C i^i z ) <-> x C_ ( C i^i D ) ) )
11	10	anbi2d 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( C i^i z ) = ( C i^i D ) -> ( ( w e. x /\ x C_ ( C i^i z ) ) <-> ( w e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) ) )
12	11	rexbidv 2478	. . . . . . . 8 |- ( ( C i^i z ) = ( C i^i D ) -> ( E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( C i^i z ) ) <-> E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) ) )
13	12	raleqbi1dv 2681	. . . . . . 7 |- ( ( C i^i z ) = ( C i^i D ) -> ( A. w e. ( C i^i z ) E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( C i^i z ) ) <-> A. w e. ( C i^i D ) E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) ) )
14	9, 13	syl 14	. . . . . 6 |- ( z = D -> ( A. w e. ( C i^i z ) E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( C i^i z ) ) <-> A. w e. ( C i^i D ) E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) ) )
15	8, 14	rspc2v 2856	. . . . 5 |- ( ( C e. B /\ D e. B ) -> ( A. y e. B A. z e. B A. w e. ( y i^i z ) E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( y i^i z ) ) -> A. w e. ( C i^i D ) E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) ) )
16		eleq1 2240	. . . . . . . 8 |- ( w = A -> ( w e. x <-> A e. x ) )
17	16	anbi1d 465	. . . . . . 7 |- ( w = A -> ( ( w e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) <-> ( A e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) ) )
18	17	rexbidv 2478	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) <-> E. x e. B ( A e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) ) )
19	18	rspccv 2840	. . . . 5 |- ( A. w e. ( C i^i D ) E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) -> ( A e. ( C i^i D ) -> E. x e. B ( A e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) ) )
20	15, 19	syl6com 35	. . . 4 |- ( A. y e. B A. z e. B A. w e. ( y i^i z ) E. x e. B ( w e. x /\ x C_ ( y i^i z ) ) -> ( ( C e. B /\ D e. B ) -> ( A e. ( C i^i D ) -> E. x e. B ( A e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) ) ) )
21	2, 20	syl 14	. . 3 |- ( B e. TopBases -> ( ( C e. B /\ D e. B ) -> ( A e. ( C i^i D ) -> E. x e. B ( A e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) ) ) )
22	21	expd 258	. 2 |- ( B e. TopBases -> ( C e. B -> ( D e. B -> ( A e. ( C i^i D ) -> E. x e. B ( A e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) ) ) ) )
23	22	imp43 355	1 |- ( ( ( B e. TopBases /\ C e. B ) /\ ( D e. B /\ A e. ( C i^i D ) ) ) -> E. x e. B ( A e. x /\ x C_ ( C i^i D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   i^i cin 3130   C_ wss 3131   TopBasesctb 13627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-uni 3812  df-bases 13628

This theorem is referenced by:  tgcl  13649  restbasg  13753  txbas  13843  tgioo  14131