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Theorem basis2 13439
Description: Property of a basis. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
basis2  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  C  e.  B )  /\  ( D  e.  B  /\  A  e.  ( C  i^i  D ) ) )  ->  E. x  e.  B  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D
) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, D

Proof of Theorem basis2
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isbasis2g 13436 . . . . 5  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  ( y  i^i  z ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( y  i^i  z
) ) ) )
21ibi 176 . . . 4  |-  ( B  e.  TopBases  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  (
y  i^i  z ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( y  i^i  z ) ) )
3 ineq1 3329 . . . . . . 7  |-  ( y  =  C  ->  (
y  i^i  z )  =  ( C  i^i  z ) )
4 sseq2 3179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  i^i  z )  =  ( C  i^i  z )  ->  (
x  C_  ( y  i^i  z )  <->  x  C_  ( C  i^i  z ) ) )
54anbi2d 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  i^i  z )  =  ( C  i^i  z )  ->  (
( w  e.  x  /\  x  C_  ( y  i^i  z ) )  <-> 
( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  z ) ) ) )
65rexbidv 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  i^i  z )  =  ( C  i^i  z )  ->  ( E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( y  i^i  z ) )  <->  E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  z ) ) ) )
76raleqbi1dv 2680 . . . . . . 7  |-  ( ( y  i^i  z )  =  ( C  i^i  z )  ->  ( A. w  e.  (
y  i^i  z ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( y  i^i  z ) )  <->  A. w  e.  ( C  i^i  z ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  z ) ) ) )
83, 7syl 14 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  ( A. w  e.  (
y  i^i  z ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( y  i^i  z ) )  <->  A. w  e.  ( C  i^i  z ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  z ) ) ) )
9 ineq2 3330 . . . . . . 7  |-  ( z  =  D  ->  ( C  i^i  z )  =  ( C  i^i  D
) )
10 sseq2 3179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  i^i  z )  =  ( C  i^i  D )  ->  ( x  C_  ( C  i^i  z
)  <->  x  C_  ( C  i^i  D ) ) )
1110anbi2d 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  i^i  z )  =  ( C  i^i  D )  ->  ( (
w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  z ) )  <->  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D
) ) ) )
1211rexbidv 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  i^i  z )  =  ( C  i^i  D )  ->  ( E. x  e.  B  (
w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  z ) )  <->  E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D
) ) ) )
1312raleqbi1dv 2680 . . . . . . 7  |-  ( ( C  i^i  z )  =  ( C  i^i  D )  ->  ( A. w  e.  ( C  i^i  z ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  z
) )  <->  A. w  e.  ( C  i^i  D
) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D ) ) ) )
149, 13syl 14 . . . . . 6  |-  ( z  =  D  ->  ( A. w  e.  ( C  i^i  z ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  z ) )  <->  A. w  e.  ( C  i^i  D
) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D ) ) ) )
158, 14rspc2v 2854 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  ( y  i^i  z
) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( y  i^i  z
) )  ->  A. w  e.  ( C  i^i  D
) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D ) ) ) )
16 eleq1 2240 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  A  ->  (
w  e.  x  <->  A  e.  x ) )
1716anbi1d 465 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  (
( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D ) )  <-> 
( A  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D ) ) ) )
1817rexbidv 2478 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  ( E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D ) )  <->  E. x  e.  B  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D ) ) ) )
1918rspccv 2838 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  ( C  i^i  D ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D
) )  ->  ( A  e.  ( C  i^i  D )  ->  E. x  e.  B  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D
) ) ) )
2015, 19syl6com 35 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  ( y  i^i  z ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( y  i^i  z
) )  ->  (
( C  e.  B  /\  D  e.  B
)  ->  ( A  e.  ( C  i^i  D
)  ->  E. x  e.  B  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D
) ) ) ) )
212, 20syl 14 . . 3  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  ->  ( A  e.  ( C  i^i  D )  ->  E. x  e.  B  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D
) ) ) ) )
2221expd 258 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( C  e.  B  ->  ( D  e.  B  ->  ( A  e.  ( C  i^i  D )  ->  E. x  e.  B  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D
) ) ) ) ) )
2322imp43 355 1  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  C  e.  B )  /\  ( D  e.  B  /\  A  e.  ( C  i^i  D ) ) )  ->  E. x  e.  B  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456    i^i cin 3128    C_ wss 3129   TopBasesctb 13433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-uni 3810  df-bases 13434
This theorem is referenced by:  tgcl  13457  restbasg  13561  txbas  13651  tgioo  13939
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