ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qtopbasss Unicode version
Theorem qtopbasss 15026
Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
qtopbas.1 |- S C_ RR*
qtopbas.max |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> sup ( { x , y } , RR* , < ) e. S )
qtopbas.min |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> inf ( { x , y } , RR* , < ) e. S )
Assertion
Ref Expression
qtopbasss |- ( (,) " ( S X. S ) ) e. TopBases
Distinct variable group:   x, y, S
Proof of Theorem qtopbasss
Dummy variables u t v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooex 10031 . . 3 |- (,) e. _V
21imaex 5038 . 2 |- ( (,) " ( S X. S ) ) e. _V
3 qtopbas.1 . . . . . . . . 9 |- S C_ RR*
43sseli 3189 . . . . . . . 8 |- ( z e. S -> z e. RR* )
53sseli 3189 . . . . . . . 8 |- ( w e. S -> w e. RR* )
64, 5anim12i 338 . . . . . . 7 |- ( ( z e. S /\ w e. S ) -> ( z e. RR* /\ w e. RR* ) )
73sseli 3189 . . . . . . . 8 |- ( v e. S -> v e. RR* )
83sseli 3189 . . . . . . . 8 |- ( u e. S -> u e. RR* )
97, 8anim12i 338 . . . . . . 7 |- ( ( v e. S /\ u e. S ) -> ( v e. RR* /\ u e. RR* ) )
10 iooinsup 11621 . . . . . . 7 |- ( ( ( z e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( v e. RR* /\ u e. RR* ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) = ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) )
116, 9, 10syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( ( z e. S /\ w e. S ) /\ ( v e. S /\ u e. S ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) = ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) )
12 qtopbas.max . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> sup ( { x , y } , RR* , < ) e. S )
1312rgen2a 2560 . . . . . . . . . 10 |- A. x e. S A. y e. S sup ( { x , y } , RR* , < ) e. S
14 preq12 3712 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = v /\ y = z ) -> { x , y } = { v , z } )
15 prcom 3709 . . . . . . . . . . . . . 14 |- { v , z } = { z , v }
1614, 15eqtrdi 2254 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = v /\ y = z ) -> { x , y } = { z , v } )
1716supeq1d 7091 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = v /\ y = z ) -> sup ( { x , y } , RR* , < ) = sup ( { z , v } , RR* , < ) )
1817eleq1d 2274 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = v /\ y = z ) -> ( sup ( { x , y } , RR* , < ) e. S <-> sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S ) )
1918rspc2gv 2889 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. S /\ z e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S sup ( { x , y } , RR* , < ) e. S -> sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S ) )
2013, 19mpi 15 . . . . . . . . 9 |- ( ( v e. S /\ z e. S ) -> sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S )
2120ancoms 268 . . . . . . . 8 |- ( ( z e. S /\ v e. S ) -> sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S )
22 qtopbas.min . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> inf ( { x , y } , RR* , < ) e. S )
2322rgen2a 2560 . . . . . . . . 9 |- A. x e. S A. y e. S inf ( { x , y } , RR* , < ) e. S
24 preq12 3712 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = w /\ y = u ) -> { x , y } = { w , u } )
2524infeq1d 7116 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = w /\ y = u ) -> inf ( { x , y } , RR* , < ) = inf ( { w , u } , RR* , < ) )
2625eleq1d 2274 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x = w /\ y = u ) -> (inf ( { x , y } , RR* , < ) e. S <-> inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S ) )
2726rspc2gv 2889 . . . . . . . . 9 |- ( ( w e. S /\ u e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S inf ( { x , y } , RR* , < ) e. S -> inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S ) )
2823, 27mpi 15 . . . . . . . 8 |- ( ( w e. S /\ u e. S ) -> inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S )
29 df-ov 5949 . . . . . . . . 9 |- ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) = ( (,) ` <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. )
30 opelxpi 4708 . . . . . . . . . 10 |- ( ( sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S /\ inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S ) -> <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. e. ( S X. S ) )
31 ioof 10095 . . . . . . . . . . . 12 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
32 ffun 5430 . . . . . . . . . . . 12 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> Fun (,) )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- Fun (,)
34 xpss12 4783 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ RR* /\ S C_ RR* ) -> ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* ) )
353, 3, 34mp2an 426 . . . . . . . . . . . 12 |- ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* )
3631fdmi 5435 . . . . . . . . . . . 12 |- dom (,) = ( RR* X. RR* )
3735, 36sseqtrri 3228 . . . . . . . . . . 11 |- ( S X. S ) C_ dom (,)
38 funfvima2 5819 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun (,) /\ ( S X. S ) C_ dom (,) ) -> ( <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. e. ( S X. S ) -> ( (,) ` <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
3933, 37, 38mp2an 426 . . . . . . . . . 10 |- ( <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. e. ( S X. S ) -> ( (,) ` <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4030, 39syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S /\ inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S ) -> ( (,) ` <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4129, 40eqeltrid 2292 . . . . . . . 8 |- ( ( sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S /\ inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S ) -> ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4221, 28, 41syl2an 289 . . . . . . 7 |- ( ( ( z e. S /\ v e. S ) /\ ( w e. S /\ u e. S ) ) -> ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4342an4s 588 . . . . . 6 |- ( ( ( z e. S /\ w e. S ) /\ ( v e. S /\ u e. S ) ) -> ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4411, 43eqeltrd 2282 . . . . 5 |- ( ( ( z e. S /\ w e. S ) /\ ( v e. S /\ u e. S ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4544ralrimivva 2588 . . . 4 |- ( ( z e. S /\ w e. S ) -> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4645rgen2a 2560 . . 3 |- A. z e. S A. w e. S A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) )
47 ffn 5427 . . . . . 6 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
4831, 47ax-mp 5 . . . . 5 |- (,) Fn ( RR* X. RR* )
49 ineq1 3367 . . . . . . . 8 |- ( x = ( (,) ` t ) -> ( x i^i y ) = ( ( (,) ` t ) i^i y ) )
5049eleq1d 2274 . . . . . . 7 |- ( x = ( (,) ` t ) -> ( ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
5150ralbidv 2506 . . . . . 6 |- ( x = ( (,) ` t ) -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
5251ralima 5826 . . . . 5 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> ( A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
5348, 35, 52mp2an 426 . . . 4 |- ( A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
54 fveq2 5578 . . . . . . . . . 10 |- ( t = <. z , w >. -> ( (,) ` t ) = ( (,) ` <. z , w >. ) )
55 df-ov 5949 . . . . . . . . . 10 |- ( z (,) w ) = ( (,) ` <. z , w >. )
5654, 55eqtr4di 2256 . . . . . . . . 9 |- ( t = <. z , w >. -> ( (,) ` t ) = ( z (,) w ) )
5756ineq1d 3373 . . . . . . . 8 |- ( t = <. z , w >. -> ( ( (,) ` t ) i^i y ) = ( ( z (,) w ) i^i y ) )
5857eleq1d 2274 . . . . . . 7 |- ( t = <. z , w >. -> ( ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
5958ralbidv 2506 . . . . . 6 |- ( t = <. z , w >. -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
60 ineq2 3368 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( (,) ` t ) -> ( ( z (,) w ) i^i y ) = ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) )
6160eleq1d 2274 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( (,) ` t ) -> ( ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
6261ralima 5826 . . . . . . . 8 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
6348, 35, 62mp2an 426 . . . . . . 7 |- ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
64 fveq2 5578 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = <. v , u >. -> ( (,) ` t ) = ( (,) ` <. v , u >. ) )
65 df-ov 5949 . . . . . . . . . . 11 |- ( v (,) u ) = ( (,) ` <. v , u >. )
6664, 65eqtr4di 2256 . . . . . . . . . 10 |- ( t = <. v , u >. -> ( (,) ` t ) = ( v (,) u ) )
6766ineq2d 3374 . . . . . . . . 9 |- ( t = <. v , u >. -> ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) = ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) )
6867eleq1d 2274 . . . . . . . 8 |- ( t = <. v , u >. -> ( ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
6968ralxp 4822 . . . . . . 7 |- ( A. t e. ( S X. S ) ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
7063, 69bitri 184 . . . . . 6 |- ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
7159, 70bitrdi 196 . . . . 5 |- ( t = <. z , w >. -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
7271ralxp 4822 . . . 4 |- ( A. t e. ( S X. S ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. z e. S A. w e. S A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
7353, 72bitri 184 . . 3 |- ( A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. z e. S A. w e. S A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
7446, 73mpbir 146 . 2 |- A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) )
75 fiinbas 14554 . 2 |- ( ( ( (,) " ( S X. S ) ) e. _V /\ A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) -> ( (,) " ( S X. S ) ) e. TopBases )
762, 74, 75mp2an 426 1 |- ( (,) " ( S X. S ) ) e. TopBases
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   _Vcvv 2772   i^i cin 3165   C_ wss 3166   ~Pcpw 3616   {cpr 3634   <.cop 3636   X. cxp 4674   dom cdm 4676   "cima 4679   Fun wfun 5266   Fn wfn 5267   -->wf 5268   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   supcsup 7086  infcinf 7087   RRcr 7926   RR*cxr 8108   < clt 8109   (,)cioo 10012   TopBasesctb 14547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-isom 5281  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-sup 7088  df-inf 7089  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-rp 9778  df-xneg 9896  df-ioo 10016  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343  df-bases 14548
This theorem is referenced by:  qtopbas  15027  retopbas  15028
  Copyright terms: Public domain W3C validator