ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qtopbasss Unicode version
Theorem qtopbasss 15235
Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
qtopbas.1 |- S C_ RR*
qtopbas.max |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> sup ( { x , y } , RR* , < ) e. S )
qtopbas.min |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> inf ( { x , y } , RR* , < ) e. S )
Assertion
Ref Expression
qtopbasss |- ( (,) " ( S X. S ) ) e. TopBases
Distinct variable group:   x, y, S
Proof of Theorem qtopbasss
Dummy variables u t v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooex 10132 . . 3 |- (,) e. _V
21imaex 5089 . 2 |- ( (,) " ( S X. S ) ) e. _V
3 qtopbas.1 . . . . . . . . 9 |- S C_ RR*
43sseli 3221 . . . . . . . 8 |- ( z e. S -> z e. RR* )
53sseli 3221 . . . . . . . 8 |- ( w e. S -> w e. RR* )
64, 5anim12i 338 . . . . . . 7 |- ( ( z e. S /\ w e. S ) -> ( z e. RR* /\ w e. RR* ) )
73sseli 3221 . . . . . . . 8 |- ( v e. S -> v e. RR* )
83sseli 3221 . . . . . . . 8 |- ( u e. S -> u e. RR* )
97, 8anim12i 338 . . . . . . 7 |- ( ( v e. S /\ u e. S ) -> ( v e. RR* /\ u e. RR* ) )
10 iooinsup 11828 . . . . . . 7 |- ( ( ( z e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( v e. RR* /\ u e. RR* ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) = ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) )
116, 9, 10syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( ( z e. S /\ w e. S ) /\ ( v e. S /\ u e. S ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) = ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) )
12 qtopbas.max . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> sup ( { x , y } , RR* , < ) e. S )
1312rgen2a 2584 . . . . . . . . . 10 |- A. x e. S A. y e. S sup ( { x , y } , RR* , < ) e. S
14 preq12 3748 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = v /\ y = z ) -> { x , y } = { v , z } )
15 prcom 3745 . . . . . . . . . . . . . 14 |- { v , z } = { z , v }
1614, 15eqtrdi 2278 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = v /\ y = z ) -> { x , y } = { z , v } )
1716supeq1d 7177 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = v /\ y = z ) -> sup ( { x , y } , RR* , < ) = sup ( { z , v } , RR* , < ) )
1817eleq1d 2298 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = v /\ y = z ) -> ( sup ( { x , y } , RR* , < ) e. S <-> sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S ) )
1918rspc2gv 2920 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. S /\ z e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S sup ( { x , y } , RR* , < ) e. S -> sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S ) )
2013, 19mpi 15 . . . . . . . . 9 |- ( ( v e. S /\ z e. S ) -> sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S )
2120ancoms 268 . . . . . . . 8 |- ( ( z e. S /\ v e. S ) -> sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S )
22 qtopbas.min . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> inf ( { x , y } , RR* , < ) e. S )
2322rgen2a 2584 . . . . . . . . 9 |- A. x e. S A. y e. S inf ( { x , y } , RR* , < ) e. S
24 preq12 3748 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = w /\ y = u ) -> { x , y } = { w , u } )
2524infeq1d 7202 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = w /\ y = u ) -> inf ( { x , y } , RR* , < ) = inf ( { w , u } , RR* , < ) )
2625eleq1d 2298 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x = w /\ y = u ) -> (inf ( { x , y } , RR* , < ) e. S <-> inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S ) )
2726rspc2gv 2920 . . . . . . . . 9 |- ( ( w e. S /\ u e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S inf ( { x , y } , RR* , < ) e. S -> inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S ) )
2823, 27mpi 15 . . . . . . . 8 |- ( ( w e. S /\ u e. S ) -> inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S )
29 df-ov 6016 . . . . . . . . 9 |- ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) = ( (,) ` <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. )
30 opelxpi 4755 . . . . . . . . . 10 |- ( ( sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S /\ inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S ) -> <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. e. ( S X. S ) )
31 ioof 10196 . . . . . . . . . . . 12 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
32 ffun 5482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> Fun (,) )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- Fun (,)
34 xpss12 4831 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ RR* /\ S C_ RR* ) -> ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* ) )
353, 3, 34mp2an 426 . . . . . . . . . . . 12 |- ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* )
3631fdmi 5487 . . . . . . . . . . . 12 |- dom (,) = ( RR* X. RR* )
3735, 36sseqtrri 3260 . . . . . . . . . . 11 |- ( S X. S ) C_ dom (,)
38 funfvima2 5882 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun (,) /\ ( S X. S ) C_ dom (,) ) -> ( <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. e. ( S X. S ) -> ( (,) ` <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
3933, 37, 38mp2an 426 . . . . . . . . . 10 |- ( <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. e. ( S X. S ) -> ( (,) ` <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4030, 39syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S /\ inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S ) -> ( (,) ` <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4129, 40eqeltrid 2316 . . . . . . . 8 |- ( ( sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S /\ inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S ) -> ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4221, 28, 41syl2an 289 . . . . . . 7 |- ( ( ( z e. S /\ v e. S ) /\ ( w e. S /\ u e. S ) ) -> ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4342an4s 590 . . . . . 6 |- ( ( ( z e. S /\ w e. S ) /\ ( v e. S /\ u e. S ) ) -> ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4411, 43eqeltrd 2306 . . . . 5 |- ( ( ( z e. S /\ w e. S ) /\ ( v e. S /\ u e. S ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4544ralrimivva 2612 . . . 4 |- ( ( z e. S /\ w e. S ) -> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4645rgen2a 2584 . . 3 |- A. z e. S A. w e. S A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) )
47 ffn 5479 . . . . . 6 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
4831, 47ax-mp 5 . . . . 5 |- (,) Fn ( RR* X. RR* )
49 ineq1 3399 . . . . . . . 8 |- ( x = ( (,) ` t ) -> ( x i^i y ) = ( ( (,) ` t ) i^i y ) )
5049eleq1d 2298 . . . . . . 7 |- ( x = ( (,) ` t ) -> ( ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
5150ralbidv 2530 . . . . . 6 |- ( x = ( (,) ` t ) -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
5251ralima 5891 . . . . 5 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> ( A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
5348, 35, 52mp2an 426 . . . 4 |- ( A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
54 fveq2 5635 . . . . . . . . . 10 |- ( t = <. z , w >. -> ( (,) ` t ) = ( (,) ` <. z , w >. ) )
55 df-ov 6016 . . . . . . . . . 10 |- ( z (,) w ) = ( (,) ` <. z , w >. )
5654, 55eqtr4di 2280 . . . . . . . . 9 |- ( t = <. z , w >. -> ( (,) ` t ) = ( z (,) w ) )
5756ineq1d 3405 . . . . . . . 8 |- ( t = <. z , w >. -> ( ( (,) ` t ) i^i y ) = ( ( z (,) w ) i^i y ) )
5857eleq1d 2298 . . . . . . 7 |- ( t = <. z , w >. -> ( ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
5958ralbidv 2530 . . . . . 6 |- ( t = <. z , w >. -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
60 ineq2 3400 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( (,) ` t ) -> ( ( z (,) w ) i^i y ) = ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) )
6160eleq1d 2298 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( (,) ` t ) -> ( ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
6261ralima 5891 . . . . . . . 8 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
6348, 35, 62mp2an 426 . . . . . . 7 |- ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
64 fveq2 5635 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = <. v , u >. -> ( (,) ` t ) = ( (,) ` <. v , u >. ) )
65 df-ov 6016 . . . . . . . . . . 11 |- ( v (,) u ) = ( (,) ` <. v , u >. )
6664, 65eqtr4di 2280 . . . . . . . . . 10 |- ( t = <. v , u >. -> ( (,) ` t ) = ( v (,) u ) )
6766ineq2d 3406 . . . . . . . . 9 |- ( t = <. v , u >. -> ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) = ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) )
6867eleq1d 2298 . . . . . . . 8 |- ( t = <. v , u >. -> ( ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
6968ralxp 4871 . . . . . . 7 |- ( A. t e. ( S X. S ) ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
7063, 69bitri 184 . . . . . 6 |- ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
7159, 70bitrdi 196 . . . . 5 |- ( t = <. z , w >. -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
7271ralxp 4871 . . . 4 |- ( A. t e. ( S X. S ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. z e. S A. w e. S A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
7353, 72bitri 184 . . 3 |- ( A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. z e. S A. w e. S A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
7446, 73mpbir 146 . 2 |- A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) )
75 fiinbas 14763 . 2 |- ( ( ( (,) " ( S X. S ) ) e. _V /\ A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) -> ( (,) " ( S X. S ) ) e. TopBases )
762, 74, 75mp2an 426 1 |- ( (,) " ( S X. S ) ) e. TopBases
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2800   i^i cin 3197   C_ wss 3198   ~Pcpw 3650   {cpr 3668   <.cop 3670   X. cxp 4721   dom cdm 4723   "cima 4726   Fun wfun 5318   Fn wfn 5319   -->wf 5320   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   supcsup 7172  infcinf 7173   RRcr 8021   RR*cxr 8203   < clt 8204   (,)cioo 10113   TopBasesctb 14756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-rp 9879  df-xneg 9997  df-ioo 10117  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-bases 14757
This theorem is referenced by:  qtopbas  15236  retopbas  15237
  Copyright terms: Public domain W3C validator