ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qtopbasss Unicode version
Theorem qtopbasss 12729
Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
qtopbas.1 |- S C_ RR*
qtopbas.max |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> sup ( { x , y } , RR* , < ) e. S )
qtopbas.min |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> inf ( { x , y } , RR* , < ) e. S )
Assertion
Ref Expression
qtopbasss |- ( (,) " ( S X. S ) ) e. TopBases
Distinct variable group:   x, y, S
Proof of Theorem qtopbasss
Dummy variables u t v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooex 9720 . . 3 |- (,) e. _V
21imaex 4902 . 2 |- ( (,) " ( S X. S ) ) e. _V
3 qtopbas.1 . . . . . . . . 9 |- S C_ RR*
43sseli 3098 . . . . . . . 8 |- ( z e. S -> z e. RR* )
53sseli 3098 . . . . . . . 8 |- ( w e. S -> w e. RR* )
64, 5anim12i 336 . . . . . . 7 |- ( ( z e. S /\ w e. S ) -> ( z e. RR* /\ w e. RR* ) )
73sseli 3098 . . . . . . . 8 |- ( v e. S -> v e. RR* )
83sseli 3098 . . . . . . . 8 |- ( u e. S -> u e. RR* )
97, 8anim12i 336 . . . . . . 7 |- ( ( v e. S /\ u e. S ) -> ( v e. RR* /\ u e. RR* ) )
10 iooinsup 11078 . . . . . . 7 |- ( ( ( z e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( v e. RR* /\ u e. RR* ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) = ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) )
116, 9, 10syl2an 287 . . . . . 6 |- ( ( ( z e. S /\ w e. S ) /\ ( v e. S /\ u e. S ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) = ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) )
12 qtopbas.max . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> sup ( { x , y } , RR* , < ) e. S )
1312rgen2a 2489 . . . . . . . . . 10 |- A. x e. S A. y e. S sup ( { x , y } , RR* , < ) e. S
14 preq12 3610 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = v /\ y = z ) -> { x , y } = { v , z } )
15 prcom 3607 . . . . . . . . . . . . . 14 |- { v , z } = { z , v }
1614, 15eqtrdi 2189 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = v /\ y = z ) -> { x , y } = { z , v } )
1716supeq1d 6882 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = v /\ y = z ) -> sup ( { x , y } , RR* , < ) = sup ( { z , v } , RR* , < ) )
1817eleq1d 2209 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = v /\ y = z ) -> ( sup ( { x , y } , RR* , < ) e. S <-> sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S ) )
1918rspc2gv 2805 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. S /\ z e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S sup ( { x , y } , RR* , < ) e. S -> sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S ) )
2013, 19mpi 15 . . . . . . . . 9 |- ( ( v e. S /\ z e. S ) -> sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S )
2120ancoms 266 . . . . . . . 8 |- ( ( z e. S /\ v e. S ) -> sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S )
22 qtopbas.min . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> inf ( { x , y } , RR* , < ) e. S )
2322rgen2a 2489 . . . . . . . . 9 |- A. x e. S A. y e. S inf ( { x , y } , RR* , < ) e. S
24 preq12 3610 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = w /\ y = u ) -> { x , y } = { w , u } )
2524infeq1d 6907 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = w /\ y = u ) -> inf ( { x , y } , RR* , < ) = inf ( { w , u } , RR* , < ) )
2625eleq1d 2209 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x = w /\ y = u ) -> (inf ( { x , y } , RR* , < ) e. S <-> inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S ) )
2726rspc2gv 2805 . . . . . . . . 9 |- ( ( w e. S /\ u e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S inf ( { x , y } , RR* , < ) e. S -> inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S ) )
2823, 27mpi 15 . . . . . . . 8 |- ( ( w e. S /\ u e. S ) -> inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S )
29 df-ov 5785 . . . . . . . . 9 |- ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) = ( (,) ` <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. )
30 opelxpi 4579 . . . . . . . . . 10 |- ( ( sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S /\ inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S ) -> <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. e. ( S X. S ) )
31 ioof 9784 . . . . . . . . . . . 12 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
32 ffun 5283 . . . . . . . . . . . 12 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> Fun (,) )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- Fun (,)
34 xpss12 4654 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ RR* /\ S C_ RR* ) -> ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* ) )
353, 3, 34mp2an 423 . . . . . . . . . . . 12 |- ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* )
3631fdmi 5288 . . . . . . . . . . . 12 |- dom (,) = ( RR* X. RR* )
3735, 36sseqtrri 3137 . . . . . . . . . . 11 |- ( S X. S ) C_ dom (,)
38 funfvima2 5658 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun (,) /\ ( S X. S ) C_ dom (,) ) -> ( <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. e. ( S X. S ) -> ( (,) ` <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
3933, 37, 38mp2an 423 . . . . . . . . . 10 |- ( <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. e. ( S X. S ) -> ( (,) ` <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4030, 39syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S /\ inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S ) -> ( (,) ` <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4129, 40eqeltrid 2227 . . . . . . . 8 |- ( ( sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S /\ inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S ) -> ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4221, 28, 41syl2an 287 . . . . . . 7 |- ( ( ( z e. S /\ v e. S ) /\ ( w e. S /\ u e. S ) ) -> ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4342an4s 578 . . . . . 6 |- ( ( ( z e. S /\ w e. S ) /\ ( v e. S /\ u e. S ) ) -> ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4411, 43eqeltrd 2217 . . . . 5 |- ( ( ( z e. S /\ w e. S ) /\ ( v e. S /\ u e. S ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4544ralrimivva 2517 . . . 4 |- ( ( z e. S /\ w e. S ) -> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4645rgen2a 2489 . . 3 |- A. z e. S A. w e. S A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) )
47 ffn 5280 . . . . . 6 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
4831, 47ax-mp 5 . . . . 5 |- (,) Fn ( RR* X. RR* )
49 ineq1 3275 . . . . . . . 8 |- ( x = ( (,) ` t ) -> ( x i^i y ) = ( ( (,) ` t ) i^i y ) )
5049eleq1d 2209 . . . . . . 7 |- ( x = ( (,) ` t ) -> ( ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
5150ralbidv 2438 . . . . . 6 |- ( x = ( (,) ` t ) -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
5251ralima 5665 . . . . 5 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> ( A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
5348, 35, 52mp2an 423 . . . 4 |- ( A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
54 fveq2 5429 . . . . . . . . . 10 |- ( t = <. z , w >. -> ( (,) ` t ) = ( (,) ` <. z , w >. ) )
55 df-ov 5785 . . . . . . . . . 10 |- ( z (,) w ) = ( (,) ` <. z , w >. )
5654, 55eqtr4di 2191 . . . . . . . . 9 |- ( t = <. z , w >. -> ( (,) ` t ) = ( z (,) w ) )
5756ineq1d 3281 . . . . . . . 8 |- ( t = <. z , w >. -> ( ( (,) ` t ) i^i y ) = ( ( z (,) w ) i^i y ) )
5857eleq1d 2209 . . . . . . 7 |- ( t = <. z , w >. -> ( ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
5958ralbidv 2438 . . . . . 6 |- ( t = <. z , w >. -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
60 ineq2 3276 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( (,) ` t ) -> ( ( z (,) w ) i^i y ) = ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) )
6160eleq1d 2209 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( (,) ` t ) -> ( ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
6261ralima 5665 . . . . . . . 8 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
6348, 35, 62mp2an 423 . . . . . . 7 |- ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
64 fveq2 5429 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = <. v , u >. -> ( (,) ` t ) = ( (,) ` <. v , u >. ) )
65 df-ov 5785 . . . . . . . . . . 11 |- ( v (,) u ) = ( (,) ` <. v , u >. )
6664, 65eqtr4di 2191 . . . . . . . . . 10 |- ( t = <. v , u >. -> ( (,) ` t ) = ( v (,) u ) )
6766ineq2d 3282 . . . . . . . . 9 |- ( t = <. v , u >. -> ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) = ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) )
6867eleq1d 2209 . . . . . . . 8 |- ( t = <. v , u >. -> ( ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
6968ralxp 4690 . . . . . . 7 |- ( A. t e. ( S X. S ) ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
7063, 69bitri 183 . . . . . 6 |- ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
7159, 70syl6bb 195 . . . . 5 |- ( t = <. z , w >. -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
7271ralxp 4690 . . . 4 |- ( A. t e. ( S X. S ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. z e. S A. w e. S A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
7353, 72bitri 183 . . 3 |- ( A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. z e. S A. w e. S A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
7446, 73mpbir 145 . 2 |- A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) )
75 fiinbas 12255 . 2 |- ( ( ( (,) " ( S X. S ) ) e. _V /\ A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) -> ( (,) " ( S X. S ) ) e. TopBases )
762, 74, 75mp2an 423 1 |- ( (,) " ( S X. S ) ) e. TopBases
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   _Vcvv 2689   i^i cin 3075   C_ wss 3076   ~Pcpw 3515   {cpr 3533   <.cop 3535   X. cxp 4545   dom cdm 4547   "cima 4550   Fun wfun 5125   Fn wfn 5126   -->wf 5127   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   supcsup 6877  infcinf 6878   RRcr 7643   RR*cxr 7823   < clt 7824   (,)cioo 9701   TopBasesctb 12248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-sup 6879  df-inf 6880  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-rp 9471  df-xneg 9589  df-ioo 9705  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-bases 12249
This theorem is referenced by:  qtopbas  12730  retopbas  12731
  Copyright terms: Public domain W3C validator