ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qtopbasss Unicode version

Theorem qtopbasss 13688
Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
qtopbas.1  |-  S  C_  RR*
qtopbas.max  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  sup ( { x ,  y } ,  RR* ,  <  )  e.  S )
qtopbas.min  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  -> inf ( { x ,  y } ,  RR* ,  <  )  e.  S
)
Assertion
Ref Expression
qtopbasss  |-  ( (,) " ( S  X.  S ) )  e.  TopBases
Distinct variable group:    x, y, S

Proof of Theorem qtopbasss
Dummy variables  u  t  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooex 9894 . . 3  |-  (,)  e.  _V
21imaex 4979 . 2  |-  ( (,) " ( S  X.  S ) )  e. 
_V
3 qtopbas.1 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  RR*
43sseli 3151 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  S  ->  z  e.  RR* )
53sseli 3151 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  S  ->  w  e.  RR* )
64, 5anim12i 338 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  ( z  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )
)
73sseli 3151 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  S  ->  v  e.  RR* )
83sseli 3151 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  S  ->  u  e.  RR* )
97, 8anim12i 338 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  S  /\  u  e.  S )  ->  ( v  e.  RR*  /\  u  e.  RR* )
)
10 iooinsup 11269 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( v  e.  RR*  /\  u  e.  RR* )
)  ->  ( (
z (,) w )  i^i  ( v (,) u ) )  =  ( sup ( { z ,  v } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { w ,  u } ,  RR* ,  <  ) ) )
116, 9, 10syl2an 289 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S
)  /\  ( v  e.  S  /\  u  e.  S ) )  -> 
( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  =  ( sup ( { z ,  v } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { w ,  u } ,  RR* ,  <  ) ) )
12 qtopbas.max . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  sup ( { x ,  y } ,  RR* ,  <  )  e.  S )
1312rgen2a 2531 . . . . . . . . . 10  |-  A. x  e.  S  A. y  e.  S  sup ( { x ,  y } ,  RR* ,  <  )  e.  S
14 preq12 3670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  v  /\  y  =  z )  ->  { x ,  y }  =  { v ,  z } )
15 prcom 3667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { v ,  z }  =  { z ,  v }
1614, 15eqtrdi 2226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  v  /\  y  =  z )  ->  { x ,  y }  =  { z ,  v } )
1716supeq1d 6980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  v  /\  y  =  z )  ->  sup ( { x ,  y } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { z ,  v } ,  RR* ,  <  ) )
1817eleq1d 2246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  v  /\  y  =  z )  ->  ( sup ( { x ,  y } ,  RR* ,  <  )  e.  S  <->  sup ( { z ,  v } ,  RR* ,  <  )  e.  S ) )
1918rspc2gv 2853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  S  /\  z  e.  S )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  sup ( { x ,  y } ,  RR* ,  <  )  e.  S  ->  sup ( { z ,  v } ,  RR* ,  <  )  e.  S ) )
2013, 19mpi 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  S  /\  z  e.  S )  ->  sup ( { z ,  v } ,  RR* ,  <  )  e.  S )
2120ancoms 268 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  sup ( { z ,  v } ,  RR* ,  <  )  e.  S )
22 qtopbas.min . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  -> inf ( { x ,  y } ,  RR* ,  <  )  e.  S
)
2322rgen2a 2531 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  S  A. y  e.  S inf ( {
x ,  y } ,  RR* ,  <  )  e.  S
24 preq12 3670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  w  /\  y  =  u )  ->  { x ,  y }  =  { w ,  u } )
2524infeq1d 7005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  w  /\  y  =  u )  -> inf ( { x ,  y } ,  RR* ,  <  )  = inf ( { w ,  u } ,  RR* ,  <  ) )
2625eleq1d 2246 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  w  /\  y  =  u )  ->  (inf ( { x ,  y } ,  RR* ,  <  )  e.  S  <-> inf ( { w ,  u } ,  RR* ,  <  )  e.  S
) )
2726rspc2gv 2853 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  S  /\  u  e.  S )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S inf ( { x ,  y } ,  RR* ,  <  )  e.  S  -> inf ( {
w ,  u } ,  RR* ,  <  )  e.  S ) )
2823, 27mpi 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  S  /\  u  e.  S )  -> inf ( { w ,  u } ,  RR* ,  <  )  e.  S
)
29 df-ov 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( sup ( { z ,  v } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { w ,  u } ,  RR* ,  <  ) )  =  ( (,) `  <. sup ( { z ,  v } ,  RR* ,  <  ) , inf ( { w ,  u } ,  RR* ,  <  ) >. )
30 opelxpi 4655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sup ( { z ,  v } ,  RR* ,  <  )  e.  S  /\ inf ( {
w ,  u } ,  RR* ,  <  )  e.  S )  ->  <. sup ( { z ,  v } ,  RR* ,  <  ) , inf ( { w ,  u } ,  RR* ,  <  ) >.  e.  ( S  X.  S ) )
31 ioof 9958 . . . . . . . . . . . 12  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
32 ffun 5364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  Fun  (,) )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  (,)
34 xpss12 4730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  RR*  /\  S  C_ 
RR* )  ->  ( S  X.  S )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
353, 3, 34mp2an 426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  X.  S )  C_  ( RR*  X.  RR* )
3631fdmi 5369 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (,)  =  ( RR*  X.  RR* )
3735, 36sseqtrri 3190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  X.  S )  C_  dom  (,)
38 funfvima2 5744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  (,)  /\  ( S  X.  S )  C_  dom  (,) )  ->  ( <. sup ( { z ,  v } ,  RR* ,  <  ) , inf ( { w ,  u } ,  RR* ,  <  ) >.  e.  ( S  X.  S )  ->  ( (,) `  <. sup ( { z ,  v } ,  RR* ,  <  ) , inf ( { w ,  u } ,  RR* ,  <  )
>. )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
3933, 37, 38mp2an 426 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. sup ( { z ,  v } ,  RR* ,  <  ) , inf ( { w ,  u } ,  RR* ,  <  )
>.  e.  ( S  X.  S )  ->  ( (,) `  <. sup ( { z ,  v } ,  RR* ,  <  ) , inf ( { w ,  u } ,  RR* ,  <  ) >. )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
4030, 39syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sup ( { z ,  v } ,  RR* ,  <  )  e.  S  /\ inf ( {
w ,  u } ,  RR* ,  <  )  e.  S )  ->  ( (,) `  <. sup ( { z ,  v } ,  RR* ,  <  ) , inf ( { w ,  u } ,  RR* ,  <  ) >. )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
4129, 40eqeltrid 2264 . . . . . . . 8  |-  ( ( sup ( { z ,  v } ,  RR* ,  <  )  e.  S  /\ inf ( {
w ,  u } ,  RR* ,  <  )  e.  S )  ->  ( sup ( { z ,  v } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { w ,  u } ,  RR* ,  <  ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
4221, 28, 41syl2an 289 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  S  /\  v  e.  S
)  /\  ( w  e.  S  /\  u  e.  S ) )  -> 
( sup ( { z ,  v } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { w ,  u } ,  RR* ,  <  ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
4342an4s 588 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S
)  /\  ( v  e.  S  /\  u  e.  S ) )  -> 
( sup ( { z ,  v } ,  RR* ,  <  ) (,)inf ( { w ,  u } ,  RR* ,  <  ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
4411, 43eqeltrd 2254 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S
)  /\  ( v  e.  S  /\  u  e.  S ) )  -> 
( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
4544ralrimivva 2559 . . . 4  |-  ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
4645rgen2a 2531 . . 3  |-  A. z  e.  S  A. w  e.  S  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( (
z (,) w )  i^i  ( v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )
47 ffn 5361 . . . . . 6  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
4831, 47ax-mp 5 . . . . 5  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
49 ineq1 3329 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( (,) `  t
)  ->  ( x  i^i  y )  =  ( ( (,) `  t
)  i^i  y )
)
5049eleq1d 2246 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( (,) `  t
)  ->  ( (
x  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <-> 
( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
5150ralbidv 2477 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( (,) `  t
)  ->  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) ( x  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
5251ralima 5751 . . . . 5  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  ( S  X.  S )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)  ->  ( A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. t  e.  ( S  X.  S
) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
5348, 35, 52mp2an 426 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. t  e.  ( S  X.  S
) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
54 fveq2 5511 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( (,) `  t
)  =  ( (,) `  <. z ,  w >. ) )
55 df-ov 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( z (,) w )  =  ( (,) `  <. z ,  w >. )
5654, 55eqtr4di 2228 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( (,) `  t
)  =  ( z (,) w ) )
5756ineq1d 3335 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( (,) `  t )  i^i  y
)  =  ( ( z (,) w )  i^i  y ) )
5857eleq1d 2246 . . . . . . 7  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( ( (,) `  t )  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <-> 
( ( z (,) w )  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
5958ralbidv 2477 . . . . . 6  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( z (,) w
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
60 ineq2 3330 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( (,) `  t
)  ->  ( (
z (,) w )  i^i  y )  =  ( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t ) ) )
6160eleq1d 2246 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( (,) `  t
)  ->  ( (
( z (,) w
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <-> 
( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
6261ralima 5751 . . . . . . . 8  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  ( S  X.  S )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)  ->  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) ( ( z (,) w )  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. t  e.  ( S  X.  S ) ( ( z (,) w
)  i^i  ( (,) `  t ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
6348, 35, 62mp2an 426 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) ( ( z (,) w )  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. t  e.  ( S  X.  S ) ( ( z (,) w
)  i^i  ( (,) `  t ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
64 fveq2 5511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  <. v ,  u >.  ->  ( (,) `  t
)  =  ( (,) `  <. v ,  u >. ) )
65 df-ov 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v (,) u )  =  ( (,) `  <. v ,  u >. )
6664, 65eqtr4di 2228 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  <. v ,  u >.  ->  ( (,) `  t
)  =  ( v (,) u ) )
6766ineq2d 3336 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  <. v ,  u >.  ->  ( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t
) )  =  ( ( z (,) w
)  i^i  ( v (,) u ) ) )
6867eleq1d 2246 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  <. v ,  u >.  ->  ( ( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t
) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <-> 
( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
6968ralxp 4766 . . . . . . 7  |-  ( A. t  e.  ( S  X.  S ) ( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t
) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
7063, 69bitri 184 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) ( ( z (,) w )  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
7159, 70bitrdi 196 . . . . 5  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
7271ralxp 4766 . . . 4  |-  ( A. t  e.  ( S  X.  S ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
7353, 72bitri 184 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( (
z (,) w )  i^i  ( v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
7446, 73mpbir 146 . 2  |-  A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )
75 fiinbas 13214 . 2  |-  ( ( ( (,) " ( S  X.  S ) )  e.  _V  /\  A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )  ->  ( (,) " ( S  X.  S ) )  e.  TopBases )
762, 74, 75mp2an 426 1  |-  ( (,) " ( S  X.  S ) )  e.  TopBases
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2737    i^i cin 3128    C_ wss 3129   ~Pcpw 3574   {cpr 3592   <.cop 3594    X. cxp 4621   dom cdm 4623   "cima 4626   Fun wfun 5206    Fn wfn 5207   -->wf 5208   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   supcsup 6975  infcinf 6976   RRcr 7801   RR*cxr 7981    < clt 7982   (,)cioo 9875   TopBasesctb 13207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-ioo 9879  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-bases 13208
This theorem is referenced by:  qtopbas  13689  retopbas  13690
  Copyright terms: Public domain W3C validator