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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > qtopbasss | Unicode version |
Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-May-2023.) |
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qtopbas.1 |
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qtopbas.max |
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qtopbas.min |
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qtopbasss |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | iooex 9894 |
. . 3
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2 | 1 | imaex 4979 |
. 2
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3 | qtopbas.1 |
. . . . . . . . 9
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4 | 3 | sseli 3151 |
. . . . . . . 8
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5 | 3 | sseli 3151 |
. . . . . . . 8
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6 | 4, 5 | anim12i 338 |
. . . . . . 7
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7 | 3 | sseli 3151 |
. . . . . . . 8
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8 | 3 | sseli 3151 |
. . . . . . . 8
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9 | 7, 8 | anim12i 338 |
. . . . . . 7
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10 | iooinsup 11269 |
. . . . . . 7
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11 | 6, 9, 10 | syl2an 289 |
. . . . . 6
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12 | qtopbas.max |
. . . . . . . . . . 11
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13 | 12 | rgen2a 2531 |
. . . . . . . . . 10
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14 | preq12 3670 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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15 | prcom 3667 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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16 | 14, 15 | eqtrdi 2226 |
. . . . . . . . . . . . 13
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17 | 16 | supeq1d 6980 |
. . . . . . . . . . . 12
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18 | 17 | eleq1d 2246 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | 18 | rspc2gv 2853 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 13, 19 | mpi 15 |
. . . . . . . . 9
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21 | 20 | ancoms 268 |
. . . . . . . 8
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22 | qtopbas.min |
. . . . . . . . . 10
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23 | 22 | rgen2a 2531 |
. . . . . . . . 9
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24 | preq12 3670 |
. . . . . . . . . . . 12
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25 | 24 | infeq1d 7005 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | 25 | eleq1d 2246 |
. . . . . . . . . 10
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27 | 26 | rspc2gv 2853 |
. . . . . . . . 9
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28 | 23, 27 | mpi 15 |
. . . . . . . 8
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29 | df-ov 5872 |
. . . . . . . . 9
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30 | opelxpi 4655 |
. . . . . . . . . 10
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31 | ioof 9958 |
. . . . . . . . . . . 12
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32 | ffun 5364 |
. . . . . . . . . . . 12
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33 | 31, 32 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | xpss12 4730 |
. . . . . . . . . . . . 13
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35 | 3, 3, 34 | mp2an 426 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | 31 | fdmi 5369 |
. . . . . . . . . . . 12
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37 | 35, 36 | sseqtrri 3190 |
. . . . . . . . . . 11
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38 | funfvima2 5744 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 33, 37, 38 | mp2an 426 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 30, 39 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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41 | 29, 40 | eqeltrid 2264 |
. . . . . . . 8
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42 | 21, 28, 41 | syl2an 289 |
. . . . . . 7
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43 | 42 | an4s 588 |
. . . . . 6
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44 | 11, 43 | eqeltrd 2254 |
. . . . 5
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45 | 44 | ralrimivva 2559 |
. . . 4
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46 | 45 | rgen2a 2531 |
. . 3
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47 | ffn 5361 |
. . . . . 6
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48 | 31, 47 | ax-mp 5 |
. . . . 5
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49 | ineq1 3329 |
. . . . . . . 8
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50 | 49 | eleq1d 2246 |
. . . . . . 7
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51 | 50 | ralbidv 2477 |
. . . . . 6
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52 | 51 | ralima 5751 |
. . . . 5
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53 | 48, 35, 52 | mp2an 426 |
. . . 4
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54 | fveq2 5511 |
. . . . . . . . . 10
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55 | df-ov 5872 |
. . . . . . . . . 10
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56 | 54, 55 | eqtr4di 2228 |
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57 | 56 | ineq1d 3335 |
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58 | 57 | eleq1d 2246 |
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59 | 58 | ralbidv 2477 |
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60 | ineq2 3330 |
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61 | 60 | eleq1d 2246 |
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62 | 61 | ralima 5751 |
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63 | 48, 35, 62 | mp2an 426 |
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64 | fveq2 5511 |
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65 | df-ov 5872 |
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66 | 64, 65 | eqtr4di 2228 |
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67 | 66 | ineq2d 3336 |
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68 | 67 | eleq1d 2246 |
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69 | 68 | ralxp 4766 |
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70 | 63, 69 | bitri 184 |
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71 | 59, 70 | bitrdi 196 |
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72 | 71 | ralxp 4766 |
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73 | 53, 72 | bitri 184 |
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74 | 46, 73 | mpbir 146 |
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75 | fiinbas 13214 |
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76 | 2, 74, 75 | mp2an 426 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 ax-pre-mulext 7920 ax-arch 7921 ax-caucvg 7922 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-ilim 4366 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-isom 5221 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-frec 6386 df-sup 6977 df-inf 6978 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-reap 8522 df-ap 8529 df-div 8619 df-inn 8909 df-2 8967 df-3 8968 df-4 8969 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-rp 9641 df-xneg 9759 df-ioo 9879 df-seqfrec 10432 df-exp 10506 df-cj 10835 df-re 10836 df-im 10837 df-rsqrt 10991 df-abs 10992 df-bases 13208 |
This theorem is referenced by: qtopbas 13689 retopbas 13690 |
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