ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qtopbasss Unicode version
Theorem qtopbasss 14060
Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
qtopbas.1 |- S C_ RR*
qtopbas.max |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> sup ( { x , y } , RR* , < ) e. S )
qtopbas.min |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> inf ( { x , y } , RR* , < ) e. S )
Assertion
Ref Expression
qtopbasss |- ( (,) " ( S X. S ) ) e. TopBases
Distinct variable group:   x, y, S
Proof of Theorem qtopbasss
Dummy variables u t v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooex 9909 . . 3 |- (,) e. _V
21imaex 4985 . 2 |- ( (,) " ( S X. S ) ) e. _V
3 qtopbas.1 . . . . . . . . 9 |- S C_ RR*
43sseli 3153 . . . . . . . 8 |- ( z e. S -> z e. RR* )
53sseli 3153 . . . . . . . 8 |- ( w e. S -> w e. RR* )
64, 5anim12i 338 . . . . . . 7 |- ( ( z e. S /\ w e. S ) -> ( z e. RR* /\ w e. RR* ) )
73sseli 3153 . . . . . . . 8 |- ( v e. S -> v e. RR* )
83sseli 3153 . . . . . . . 8 |- ( u e. S -> u e. RR* )
97, 8anim12i 338 . . . . . . 7 |- ( ( v e. S /\ u e. S ) -> ( v e. RR* /\ u e. RR* ) )
10 iooinsup 11287 . . . . . . 7 |- ( ( ( z e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( v e. RR* /\ u e. RR* ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) = ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) )
116, 9, 10syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( ( z e. S /\ w e. S ) /\ ( v e. S /\ u e. S ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) = ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) )
12 qtopbas.max . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> sup ( { x , y } , RR* , < ) e. S )
1312rgen2a 2531 . . . . . . . . . 10 |- A. x e. S A. y e. S sup ( { x , y } , RR* , < ) e. S
14 preq12 3673 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = v /\ y = z ) -> { x , y } = { v , z } )
15 prcom 3670 . . . . . . . . . . . . . 14 |- { v , z } = { z , v }
1614, 15eqtrdi 2226 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = v /\ y = z ) -> { x , y } = { z , v } )
1716supeq1d 6988 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = v /\ y = z ) -> sup ( { x , y } , RR* , < ) = sup ( { z , v } , RR* , < ) )
1817eleq1d 2246 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = v /\ y = z ) -> ( sup ( { x , y } , RR* , < ) e. S <-> sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S ) )
1918rspc2gv 2855 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. S /\ z e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S sup ( { x , y } , RR* , < ) e. S -> sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S ) )
2013, 19mpi 15 . . . . . . . . 9 |- ( ( v e. S /\ z e. S ) -> sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S )
2120ancoms 268 . . . . . . . 8 |- ( ( z e. S /\ v e. S ) -> sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S )
22 qtopbas.min . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> inf ( { x , y } , RR* , < ) e. S )
2322rgen2a 2531 . . . . . . . . 9 |- A. x e. S A. y e. S inf ( { x , y } , RR* , < ) e. S
24 preq12 3673 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = w /\ y = u ) -> { x , y } = { w , u } )
2524infeq1d 7013 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = w /\ y = u ) -> inf ( { x , y } , RR* , < ) = inf ( { w , u } , RR* , < ) )
2625eleq1d 2246 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x = w /\ y = u ) -> (inf ( { x , y } , RR* , < ) e. S <-> inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S ) )
2726rspc2gv 2855 . . . . . . . . 9 |- ( ( w e. S /\ u e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S inf ( { x , y } , RR* , < ) e. S -> inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S ) )
2823, 27mpi 15 . . . . . . . 8 |- ( ( w e. S /\ u e. S ) -> inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S )
29 df-ov 5880 . . . . . . . . 9 |- ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) = ( (,) ` <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. )
30 opelxpi 4660 . . . . . . . . . 10 |- ( ( sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S /\ inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S ) -> <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. e. ( S X. S ) )
31 ioof 9973 . . . . . . . . . . . 12 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
32 ffun 5370 . . . . . . . . . . . 12 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> Fun (,) )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- Fun (,)
34 xpss12 4735 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ RR* /\ S C_ RR* ) -> ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* ) )
353, 3, 34mp2an 426 . . . . . . . . . . . 12 |- ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* )
3631fdmi 5375 . . . . . . . . . . . 12 |- dom (,) = ( RR* X. RR* )
3735, 36sseqtrri 3192 . . . . . . . . . . 11 |- ( S X. S ) C_ dom (,)
38 funfvima2 5751 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun (,) /\ ( S X. S ) C_ dom (,) ) -> ( <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. e. ( S X. S ) -> ( (,) ` <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
3933, 37, 38mp2an 426 . . . . . . . . . 10 |- ( <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. e. ( S X. S ) -> ( (,) ` <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4030, 39syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S /\ inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S ) -> ( (,) ` <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4129, 40eqeltrid 2264 . . . . . . . 8 |- ( ( sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S /\ inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S ) -> ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4221, 28, 41syl2an 289 . . . . . . 7 |- ( ( ( z e. S /\ v e. S ) /\ ( w e. S /\ u e. S ) ) -> ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4342an4s 588 . . . . . 6 |- ( ( ( z e. S /\ w e. S ) /\ ( v e. S /\ u e. S ) ) -> ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4411, 43eqeltrd 2254 . . . . 5 |- ( ( ( z e. S /\ w e. S ) /\ ( v e. S /\ u e. S ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4544ralrimivva 2559 . . . 4 |- ( ( z e. S /\ w e. S ) -> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4645rgen2a 2531 . . 3 |- A. z e. S A. w e. S A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) )
47 ffn 5367 . . . . . 6 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
4831, 47ax-mp 5 . . . . 5 |- (,) Fn ( RR* X. RR* )
49 ineq1 3331 . . . . . . . 8 |- ( x = ( (,) ` t ) -> ( x i^i y ) = ( ( (,) ` t ) i^i y ) )
5049eleq1d 2246 . . . . . . 7 |- ( x = ( (,) ` t ) -> ( ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
5150ralbidv 2477 . . . . . 6 |- ( x = ( (,) ` t ) -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
5251ralima 5758 . . . . 5 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> ( A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
5348, 35, 52mp2an 426 . . . 4 |- ( A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
54 fveq2 5517 . . . . . . . . . 10 |- ( t = <. z , w >. -> ( (,) ` t ) = ( (,) ` <. z , w >. ) )
55 df-ov 5880 . . . . . . . . . 10 |- ( z (,) w ) = ( (,) ` <. z , w >. )
5654, 55eqtr4di 2228 . . . . . . . . 9 |- ( t = <. z , w >. -> ( (,) ` t ) = ( z (,) w ) )
5756ineq1d 3337 . . . . . . . 8 |- ( t = <. z , w >. -> ( ( (,) ` t ) i^i y ) = ( ( z (,) w ) i^i y ) )
5857eleq1d 2246 . . . . . . 7 |- ( t = <. z , w >. -> ( ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
5958ralbidv 2477 . . . . . 6 |- ( t = <. z , w >. -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
60 ineq2 3332 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( (,) ` t ) -> ( ( z (,) w ) i^i y ) = ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) )
6160eleq1d 2246 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( (,) ` t ) -> ( ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
6261ralima 5758 . . . . . . . 8 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
6348, 35, 62mp2an 426 . . . . . . 7 |- ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
64 fveq2 5517 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = <. v , u >. -> ( (,) ` t ) = ( (,) ` <. v , u >. ) )
65 df-ov 5880 . . . . . . . . . . 11 |- ( v (,) u ) = ( (,) ` <. v , u >. )
6664, 65eqtr4di 2228 . . . . . . . . . 10 |- ( t = <. v , u >. -> ( (,) ` t ) = ( v (,) u ) )
6766ineq2d 3338 . . . . . . . . 9 |- ( t = <. v , u >. -> ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) = ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) )
6867eleq1d 2246 . . . . . . . 8 |- ( t = <. v , u >. -> ( ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
6968ralxp 4772 . . . . . . 7 |- ( A. t e. ( S X. S ) ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
7063, 69bitri 184 . . . . . 6 |- ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
7159, 70bitrdi 196 . . . . 5 |- ( t = <. z , w >. -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
7271ralxp 4772 . . . 4 |- ( A. t e. ( S X. S ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. z e. S A. w e. S A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
7353, 72bitri 184 . . 3 |- ( A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. z e. S A. w e. S A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
7446, 73mpbir 146 . 2 |- A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) )
75 fiinbas 13588 . 2 |- ( ( ( (,) " ( S X. S ) ) e. _V /\ A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) -> ( (,) " ( S X. S ) ) e. TopBases )
762, 74, 75mp2an 426 1 |- ( (,) " ( S X. S ) ) e. TopBases
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2739   i^i cin 3130   C_ wss 3131   ~Pcpw 3577   {cpr 3595   <.cop 3597   X. cxp 4626   dom cdm 4628   "cima 4631   Fun wfun 5212   Fn wfn 5213   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   supcsup 6983  infcinf 6984   RRcr 7812   RR*cxr 7993   < clt 7994   (,)cioo 9890   TopBasesctb 13581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-xneg 9774  df-ioo 9894  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-bases 13582
This theorem is referenced by:  qtopbas  14061  retopbas  14062
  Copyright terms: Public domain W3C validator