ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qtopbasss Unicode version
Theorem qtopbasss 13601
Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
qtopbas.1 |- S C_ RR*
qtopbas.max |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> sup ( { x , y } , RR* , < ) e. S )
qtopbas.min |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> inf ( { x , y } , RR* , < ) e. S )
Assertion
Ref Expression
qtopbasss |- ( (,) " ( S X. S ) ) e. TopBases
Distinct variable group:   x, y, S
Proof of Theorem qtopbasss
Dummy variables u t v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooex 9878 . . 3 |- (,) e. _V
21imaex 4976 . 2 |- ( (,) " ( S X. S ) ) e. _V
3 qtopbas.1 . . . . . . . . 9 |- S C_ RR*
43sseli 3149 . . . . . . . 8 |- ( z e. S -> z e. RR* )
53sseli 3149 . . . . . . . 8 |- ( w e. S -> w e. RR* )
64, 5anim12i 338 . . . . . . 7 |- ( ( z e. S /\ w e. S ) -> ( z e. RR* /\ w e. RR* ) )
73sseli 3149 . . . . . . . 8 |- ( v e. S -> v e. RR* )
83sseli 3149 . . . . . . . 8 |- ( u e. S -> u e. RR* )
97, 8anim12i 338 . . . . . . 7 |- ( ( v e. S /\ u e. S ) -> ( v e. RR* /\ u e. RR* ) )
10 iooinsup 11253 . . . . . . 7 |- ( ( ( z e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( v e. RR* /\ u e. RR* ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) = ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) )
116, 9, 10syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( ( z e. S /\ w e. S ) /\ ( v e. S /\ u e. S ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) = ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) )
12 qtopbas.max . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> sup ( { x , y } , RR* , < ) e. S )
1312rgen2a 2529 . . . . . . . . . 10 |- A. x e. S A. y e. S sup ( { x , y } , RR* , < ) e. S
14 preq12 3668 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = v /\ y = z ) -> { x , y } = { v , z } )
15 prcom 3665 . . . . . . . . . . . . . 14 |- { v , z } = { z , v }
1614, 15eqtrdi 2224 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = v /\ y = z ) -> { x , y } = { z , v } )
1716supeq1d 6976 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = v /\ y = z ) -> sup ( { x , y } , RR* , < ) = sup ( { z , v } , RR* , < ) )
1817eleq1d 2244 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = v /\ y = z ) -> ( sup ( { x , y } , RR* , < ) e. S <-> sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S ) )
1918rspc2gv 2851 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. S /\ z e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S sup ( { x , y } , RR* , < ) e. S -> sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S ) )
2013, 19mpi 15 . . . . . . . . 9 |- ( ( v e. S /\ z e. S ) -> sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S )
2120ancoms 268 . . . . . . . 8 |- ( ( z e. S /\ v e. S ) -> sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S )
22 qtopbas.min . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> inf ( { x , y } , RR* , < ) e. S )
2322rgen2a 2529 . . . . . . . . 9 |- A. x e. S A. y e. S inf ( { x , y } , RR* , < ) e. S
24 preq12 3668 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = w /\ y = u ) -> { x , y } = { w , u } )
2524infeq1d 7001 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = w /\ y = u ) -> inf ( { x , y } , RR* , < ) = inf ( { w , u } , RR* , < ) )
2625eleq1d 2244 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x = w /\ y = u ) -> (inf ( { x , y } , RR* , < ) e. S <-> inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S ) )
2726rspc2gv 2851 . . . . . . . . 9 |- ( ( w e. S /\ u e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S inf ( { x , y } , RR* , < ) e. S -> inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S ) )
2823, 27mpi 15 . . . . . . . 8 |- ( ( w e. S /\ u e. S ) -> inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S )
29 df-ov 5868 . . . . . . . . 9 |- ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) = ( (,) ` <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. )
30 opelxpi 4652 . . . . . . . . . 10 |- ( ( sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S /\ inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S ) -> <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. e. ( S X. S ) )
31 ioof 9942 . . . . . . . . . . . 12 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
32 ffun 5360 . . . . . . . . . . . 12 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> Fun (,) )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- Fun (,)
34 xpss12 4727 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ RR* /\ S C_ RR* ) -> ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* ) )
353, 3, 34mp2an 426 . . . . . . . . . . . 12 |- ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* )
3631fdmi 5365 . . . . . . . . . . . 12 |- dom (,) = ( RR* X. RR* )
3735, 36sseqtrri 3188 . . . . . . . . . . 11 |- ( S X. S ) C_ dom (,)
38 funfvima2 5740 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun (,) /\ ( S X. S ) C_ dom (,) ) -> ( <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. e. ( S X. S ) -> ( (,) ` <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
3933, 37, 38mp2an 426 . . . . . . . . . 10 |- ( <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. e. ( S X. S ) -> ( (,) ` <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4030, 39syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S /\ inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S ) -> ( (,) ` <. sup ( { z , v } , RR* , < ) , inf ( { w , u } , RR* , < ) >. ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4129, 40eqeltrid 2262 . . . . . . . 8 |- ( ( sup ( { z , v } , RR* , < ) e. S /\ inf ( { w , u } , RR* , < ) e. S ) -> ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4221, 28, 41syl2an 289 . . . . . . 7 |- ( ( ( z e. S /\ v e. S ) /\ ( w e. S /\ u e. S ) ) -> ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4342an4s 588 . . . . . 6 |- ( ( ( z e. S /\ w e. S ) /\ ( v e. S /\ u e. S ) ) -> ( sup ( { z , v } , RR* , < ) (,)inf ( { w , u } , RR* , < ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4411, 43eqeltrd 2252 . . . . 5 |- ( ( ( z e. S /\ w e. S ) /\ ( v e. S /\ u e. S ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4544ralrimivva 2557 . . . 4 |- ( ( z e. S /\ w e. S ) -> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
4645rgen2a 2529 . . 3 |- A. z e. S A. w e. S A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) )
47 ffn 5357 . . . . . 6 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
4831, 47ax-mp 5 . . . . 5 |- (,) Fn ( RR* X. RR* )
49 ineq1 3327 . . . . . . . 8 |- ( x = ( (,) ` t ) -> ( x i^i y ) = ( ( (,) ` t ) i^i y ) )
5049eleq1d 2244 . . . . . . 7 |- ( x = ( (,) ` t ) -> ( ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
5150ralbidv 2475 . . . . . 6 |- ( x = ( (,) ` t ) -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
5251ralima 5747 . . . . 5 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> ( A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
5348, 35, 52mp2an 426 . . . 4 |- ( A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
54 fveq2 5507 . . . . . . . . . 10 |- ( t = <. z , w >. -> ( (,) ` t ) = ( (,) ` <. z , w >. ) )
55 df-ov 5868 . . . . . . . . . 10 |- ( z (,) w ) = ( (,) ` <. z , w >. )
5654, 55eqtr4di 2226 . . . . . . . . 9 |- ( t = <. z , w >. -> ( (,) ` t ) = ( z (,) w ) )
5756ineq1d 3333 . . . . . . . 8 |- ( t = <. z , w >. -> ( ( (,) ` t ) i^i y ) = ( ( z (,) w ) i^i y ) )
5857eleq1d 2244 . . . . . . 7 |- ( t = <. z , w >. -> ( ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
5958ralbidv 2475 . . . . . 6 |- ( t = <. z , w >. -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
60 ineq2 3328 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( (,) ` t ) -> ( ( z (,) w ) i^i y ) = ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) )
6160eleq1d 2244 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( (,) ` t ) -> ( ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
6261ralima 5747 . . . . . . . 8 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
6348, 35, 62mp2an 426 . . . . . . 7 |- ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
64 fveq2 5507 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = <. v , u >. -> ( (,) ` t ) = ( (,) ` <. v , u >. ) )
65 df-ov 5868 . . . . . . . . . . 11 |- ( v (,) u ) = ( (,) ` <. v , u >. )
6664, 65eqtr4di 2226 . . . . . . . . . 10 |- ( t = <. v , u >. -> ( (,) ` t ) = ( v (,) u ) )
6766ineq2d 3334 . . . . . . . . 9 |- ( t = <. v , u >. -> ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) = ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) )
6867eleq1d 2244 . . . . . . . 8 |- ( t = <. v , u >. -> ( ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
6968ralxp 4763 . . . . . . 7 |- ( A. t e. ( S X. S ) ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
7063, 69bitri 184 . . . . . 6 |- ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
7159, 70bitrdi 196 . . . . 5 |- ( t = <. z , w >. -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
7271ralxp 4763 . . . 4 |- ( A. t e. ( S X. S ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. z e. S A. w e. S A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
7353, 72bitri 184 . . 3 |- ( A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. z e. S A. w e. S A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
7446, 73mpbir 146 . 2 |- A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) )
75 fiinbas 13127 . 2 |- ( ( ( (,) " ( S X. S ) ) e. _V /\ A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) -> ( (,) " ( S X. S ) ) e. TopBases )
762, 74, 75mp2an 426 1 |- ( (,) " ( S X. S ) ) e. TopBases
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2146   A.wral 2453   _Vcvv 2735   i^i cin 3126   C_ wss 3127   ~Pcpw 3572   {cpr 3590   <.cop 3592   X. cxp 4618   dom cdm 4620   "cima 4623   Fun wfun 5202   Fn wfn 5203   -->wf 5204   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   supcsup 6971  infcinf 6972   RRcr 7785   RR*cxr 7965   < clt 7966   (,)cioo 9859   TopBasesctb 13120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-rp 9625  df-xneg 9743  df-ioo 9863  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-bases 13121
This theorem is referenced by:  qtopbas  13602  retopbas  13603
  Copyright terms: Public domain W3C validator