Theorem baspartn 14718

Description: A disjoint system of sets is a basis for a topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
baspartn	|- ( ( P e. V /\ A. x e. P A. y e. P ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> P e. TopBases )

Distinct variable group:   x, P, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)

Proof of Theorem baspartn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( x e. P -> x e. P )
2		pwidg 3663	. . . . . . . . 9 |- ( x e. P -> x e. ~P x )
3	1, 2	elind 3389	. . . . . . . 8 |- ( x e. P -> x e. ( P i^i ~P x ) )
4		elssuni 3915	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( P i^i ~P x ) -> x C_ U. ( P i^i ~P x ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . 7 |- ( x e. P -> x C_ U. ( P i^i ~P x ) )
6		inidm 3413	. . . . . . . . 9 |- ( x i^i x ) = x
7		ineq2 3399	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x i^i x ) = ( x i^i y ) )
8	6, 7	eqtr3id 2276	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> x = ( x i^i y ) )
9	8	pweqd 3654	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ~P x = ~P ( x i^i y ) )
10	9	ineq2d 3405	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( P i^i ~P x ) = ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) )
11	10	unieqd 3898	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> U. ( P i^i ~P x ) = U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) )
12	8, 11	sseq12d 3255	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x C_ U. ( P i^i ~P x ) <-> ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
13	5, 12	syl5ibcom 155	. . . . . 6 |- ( x e. P -> ( x = y -> ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
14		0ss 3530	. . . . . . . 8 |- (/) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) )
15		sseq1 3247	. . . . . . . 8 |- ( ( x i^i y ) = (/) -> ( ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> (/) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
16	14, 15	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( ( x i^i y ) = (/) -> ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) )
17	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( x e. P -> ( ( x i^i y ) = (/) -> ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
18	13, 17	jaod 722	. . . . 5 |- ( x e. P -> ( ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
19	18	ralimdv 2598	. . . 4 |- ( x e. P -> ( A. y e. P ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) -> A. y e. P ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
20	19	ralimia 2591	. . 3 |- ( A. x e. P A. y e. P ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) -> A. x e. P A. y e. P ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) )
21	20	adantl 277	. 2 |- ( ( P e. V /\ A. x e. P A. y e. P ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> A. x e. P A. y e. P ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) )
22		isbasisg 14712	. . 3 |- ( P e. V -> ( P e. TopBases <-> A. x e. P A. y e. P ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
23	22	adantr 276	. 2 |- ( ( P e. V /\ A. x e. P A. y e. P ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> ( P e. TopBases <-> A. x e. P A. y e. P ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
24	21, 23	mpbird 167	1 |- ( ( P e. V /\ A. x e. P A. y e. P ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> P e. TopBases )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   i^i cin 3196   C_ wss 3197   (/)c0 3491   ~Pcpw 3649   U.cuni 3887   TopBasesctb 14710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-uni 3888  df-bases 14711

This theorem is referenced by: (None)