Theorem baspartn 14844

Description: A disjoint system of sets is a basis for a topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
baspartn	|- ( ( P e. V /\ A. x e. P A. y e. P ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> P e. TopBases )

Distinct variable group:   x, P, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)

Proof of Theorem baspartn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( x e. P -> x e. P )
2		pwidg 3670	. . . . . . . . 9 |- ( x e. P -> x e. ~P x )
3	1, 2	elind 3394	. . . . . . . 8 |- ( x e. P -> x e. ( P i^i ~P x ) )
4		elssuni 3926	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( P i^i ~P x ) -> x C_ U. ( P i^i ~P x ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . 7 |- ( x e. P -> x C_ U. ( P i^i ~P x ) )
6		inidm 3418	. . . . . . . . 9 |- ( x i^i x ) = x
7		ineq2 3404	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x i^i x ) = ( x i^i y ) )
8	6, 7	eqtr3id 2278	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> x = ( x i^i y ) )
9	8	pweqd 3661	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ~P x = ~P ( x i^i y ) )
10	9	ineq2d 3410	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( P i^i ~P x ) = ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) )
11	10	unieqd 3909	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> U. ( P i^i ~P x ) = U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) )
12	8, 11	sseq12d 3259	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x C_ U. ( P i^i ~P x ) <-> ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
13	5, 12	syl5ibcom 155	. . . . . 6 |- ( x e. P -> ( x = y -> ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
14		0ss 3535	. . . . . . . 8 |- (/) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) )
15		sseq1 3251	. . . . . . . 8 |- ( ( x i^i y ) = (/) -> ( ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> (/) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
16	14, 15	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( ( x i^i y ) = (/) -> ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) )
17	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( x e. P -> ( ( x i^i y ) = (/) -> ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
18	13, 17	jaod 725	. . . . 5 |- ( x e. P -> ( ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
19	18	ralimdv 2601	. . . 4 |- ( x e. P -> ( A. y e. P ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) -> A. y e. P ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
20	19	ralimia 2594	. . 3 |- ( A. x e. P A. y e. P ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) -> A. x e. P A. y e. P ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) )
21	20	adantl 277	. 2 |- ( ( P e. V /\ A. x e. P A. y e. P ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> A. x e. P A. y e. P ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) )
22		isbasisg 14838	. . 3 |- ( P e. V -> ( P e. TopBases <-> A. x e. P A. y e. P ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
23	22	adantr 276	. 2 |- ( ( P e. V /\ A. x e. P A. y e. P ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> ( P e. TopBases <-> A. x e. P A. y e. P ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
24	21, 23	mpbird 167	1 |- ( ( P e. V /\ A. x e. P A. y e. P ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> P e. TopBases )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   i^i cin 3200   C_ wss 3201   (/)c0 3496   ~Pcpw 3656   U.cuni 3898   TopBasesctb 14836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-uni 3899  df-bases 14837

This theorem is referenced by: (None)