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Theorem baspartn 12227
Description: A disjoint system of sets is a basis for a topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
baspartn  |-  ( ( P  e.  V  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )  ->  P  e.  TopBases )
Distinct variable group:    x, P, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)

Proof of Theorem baspartn
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  P  ->  x  e.  P )
2 pwidg 3524 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  P  ->  x  e.  ~P x )
31, 2elind 3261 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  P  ->  x  e.  ( P  i^i  ~P x ) )
4 elssuni 3764 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( P  i^i  ~P x )  ->  x  C_ 
U. ( P  i^i  ~P x ) )
53, 4syl 14 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  P  ->  x  C_ 
U. ( P  i^i  ~P x ) )
6 inidm 3285 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  x )  =  x
7 ineq2 3271 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  i^i  x )  =  ( x  i^i  y ) )
86, 7syl5eqr 2186 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  x  =  ( x  i^i  y ) )
98pweqd 3515 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ~P x  =  ~P (
x  i^i  y )
)
109ineq2d 3277 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( P  i^i  ~P x )  =  ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
1110unieqd 3747 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  U. ( P  i^i  ~P x )  =  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
128, 11sseq12d 3128 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  U. ( P  i^i  ~P x )  <-> 
( x  i^i  y
)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
135, 12syl5ibcom 154 . . . . . 6  |-  ( x  e.  P  ->  (
x  =  y  -> 
( x  i^i  y
)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
14 0ss 3401 . . . . . . . 8  |-  (/)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )
15 sseq1 3120 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  ( ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  (/)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
1614, 15mpbiri 167 . . . . . . 7  |-  ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  ( x  i^i  y )  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
1716a1i 9 . . . . . 6  |-  ( x  e.  P  ->  (
( x  i^i  y
)  =  (/)  ->  (
x  i^i  y )  C_ 
U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) ) )
1813, 17jaod 706 . . . . 5  |-  ( x  e.  P  ->  (
( x  =  y  \/  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  i^i  y )  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
1918ralimdv 2500 . . . 4  |-  ( x  e.  P  ->  ( A. y  e.  P  ( x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) )  ->  A. y  e.  P  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
2019ralimia 2493 . . 3  |-  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) )  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
2120adantl 275 . 2  |-  ( ( P  e.  V  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
22 isbasisg 12221 . . 3  |-  ( P  e.  V  ->  ( P  e.  TopBases  <->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
2322adantr 274 . 2  |-  ( ( P  e.  V  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )  ->  ( P  e.  TopBases  <->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  i^i  y )  C_ 
U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) ) )
2421, 23mpbird 166 1  |-  ( ( P  e.  V  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )  ->  P  e.  TopBases )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416    i^i cin 3070    C_ wss 3071   (/)c0 3363   ~Pcpw 3510   U.cuni 3736   TopBasesctb 12219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-uni 3737  df-bases 12220
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