Theorem baspartn 12256

Description: A disjoint system of sets is a basis for a topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
baspartn	|- ( ( P e. V /\ A. x e. P A. y e. P ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> P e. TopBases )

Distinct variable group:   x, P, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)

Proof of Theorem baspartn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( x e. P -> x e. P )
2		pwidg 3529	. . . . . . . . 9 |- ( x e. P -> x e. ~P x )
3	1, 2	elind 3266	. . . . . . . 8 |- ( x e. P -> x e. ( P i^i ~P x ) )
4		elssuni 3772	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( P i^i ~P x ) -> x C_ U. ( P i^i ~P x ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . 7 |- ( x e. P -> x C_ U. ( P i^i ~P x ) )
6		inidm 3290	. . . . . . . . 9 |- ( x i^i x ) = x
7		ineq2 3276	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x i^i x ) = ( x i^i y ) )
8	6, 7	syl5eqr 2187	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> x = ( x i^i y ) )
9	8	pweqd 3520	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ~P x = ~P ( x i^i y ) )
10	9	ineq2d 3282	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( P i^i ~P x ) = ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) )
11	10	unieqd 3755	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> U. ( P i^i ~P x ) = U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) )
12	8, 11	sseq12d 3133	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x C_ U. ( P i^i ~P x ) <-> ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
13	5, 12	syl5ibcom 154	. . . . . 6 |- ( x e. P -> ( x = y -> ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
14		0ss 3406	. . . . . . . 8 |- (/) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) )
15		sseq1 3125	. . . . . . . 8 |- ( ( x i^i y ) = (/) -> ( ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> (/) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
16	14, 15	mpbiri 167	. . . . . . 7 |- ( ( x i^i y ) = (/) -> ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) )
17	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( x e. P -> ( ( x i^i y ) = (/) -> ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
18	13, 17	jaod 707	. . . . 5 |- ( x e. P -> ( ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
19	18	ralimdv 2503	. . . 4 |- ( x e. P -> ( A. y e. P ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) -> A. y e. P ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
20	19	ralimia 2496	. . 3 |- ( A. x e. P A. y e. P ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) -> A. x e. P A. y e. P ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) )
21	20	adantl 275	. 2 |- ( ( P e. V /\ A. x e. P A. y e. P ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> A. x e. P A. y e. P ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) )
22		isbasisg 12250	. . 3 |- ( P e. V -> ( P e. TopBases <-> A. x e. P A. y e. P ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
23	22	adantr 274	. 2 |- ( ( P e. V /\ A. x e. P A. y e. P ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> ( P e. TopBases <-> A. x e. P A. y e. P ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
24	21, 23	mpbird 166	1 |- ( ( P e. V /\ A. x e. P A. y e. P ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> P e. TopBases )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   i^i cin 3075   C_ wss 3076   (/)c0 3368   ~Pcpw 3515   U.cuni 3744   TopBasesctb 12248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-uni 3745  df-bases 12249

This theorem is referenced by: (None)