Theorem baspartn 13330

Description: A disjoint system of sets is a basis for a topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
baspartn	|- ( ( P e. V /\ A. x e. P A. y e. P ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> P e. TopBases )

Distinct variable group:   x, P, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)

Proof of Theorem baspartn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( x e. P -> x e. P )
2		pwidg 3589	. . . . . . . . 9 |- ( x e. P -> x e. ~P x )
3	1, 2	elind 3320	. . . . . . . 8 |- ( x e. P -> x e. ( P i^i ~P x ) )
4		elssuni 3836	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( P i^i ~P x ) -> x C_ U. ( P i^i ~P x ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . 7 |- ( x e. P -> x C_ U. ( P i^i ~P x ) )
6		inidm 3344	. . . . . . . . 9 |- ( x i^i x ) = x
7		ineq2 3330	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x i^i x ) = ( x i^i y ) )
8	6, 7	eqtr3id 2224	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> x = ( x i^i y ) )
9	8	pweqd 3580	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ~P x = ~P ( x i^i y ) )
10	9	ineq2d 3336	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( P i^i ~P x ) = ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) )
11	10	unieqd 3819	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> U. ( P i^i ~P x ) = U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) )
12	8, 11	sseq12d 3186	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x C_ U. ( P i^i ~P x ) <-> ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
13	5, 12	syl5ibcom 155	. . . . . 6 |- ( x e. P -> ( x = y -> ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
14		0ss 3461	. . . . . . . 8 |- (/) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) )
15		sseq1 3178	. . . . . . . 8 |- ( ( x i^i y ) = (/) -> ( ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> (/) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
16	14, 15	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( ( x i^i y ) = (/) -> ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) )
17	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( x e. P -> ( ( x i^i y ) = (/) -> ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
18	13, 17	jaod 717	. . . . 5 |- ( x e. P -> ( ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
19	18	ralimdv 2545	. . . 4 |- ( x e. P -> ( A. y e. P ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) -> A. y e. P ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
20	19	ralimia 2538	. . 3 |- ( A. x e. P A. y e. P ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) -> A. x e. P A. y e. P ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) )
21	20	adantl 277	. 2 |- ( ( P e. V /\ A. x e. P A. y e. P ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> A. x e. P A. y e. P ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) )
22		isbasisg 13324	. . 3 |- ( P e. V -> ( P e. TopBases <-> A. x e. P A. y e. P ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
23	22	adantr 276	. 2 |- ( ( P e. V /\ A. x e. P A. y e. P ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> ( P e. TopBases <-> A. x e. P A. y e. P ( x i^i y ) C_ U. ( P i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
24	21, 23	mpbird 167	1 |- ( ( P e. V /\ A. x e. P A. y e. P ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> P e. TopBases )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   i^i cin 3128   C_ wss 3129   (/)c0 3422   ~Pcpw 3575   U.cuni 3808   TopBasesctb 13322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-uni 3809  df-bases 13323

This theorem is referenced by: (None)