Theorem iniseg 4919

Description: An idiom that signifies an initial segment of an ordering, used, for example, in Definition 6.21 of [TakeutiZaring] p. 30. (Contributed by NM, 28-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
iniseg	|- ( B e. V -> ( `' A " { B } ) = { x | x A B } )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem iniseg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2700	. 2 |- ( B e. V -> B e. _V )
2		vex 2692	. . . 4 |- x e. _V
3	2	eliniseg 4917	. . 3 |- ( B e. _V -> ( x e. ( `' A " { B } ) <-> x A B ) )
4	3	abbi2dv 2259	. 2 |- ( B e. _V -> ( `' A " { B } ) = { x | x A B } )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( B e. V -> ( `' A " { B } ) = { x | x A B } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 1481   {cab 2126   _Vcvv 2689   {csn 3532   class class class wbr 3937   `'ccnv 4546   "cima 4550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-cnv 4555  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560

This theorem is referenced by:  dfse2  4920