Theorem dfse2 5055

Description: Alternate definition of set-like relation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfse2	|- ( R Se A <-> A. x e. A ( A i^i ( `' R " { x } ) ) e. _V )

Distinct variable groups:   x, A   x, R

Proof of Theorem dfse2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-se 4380	. 2 |- ( R Se A <-> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
2		dfrab3 3449	. . . . 5 |- { y e. A | y R x } = ( A i^i { y | y R x } )
3		vex 2775	. . . . . . 7 |- x e. _V
4		iniseg 5054	. . . . . . 7 |- ( x e. _V -> ( `' R " { x } ) = { y | y R x } )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( `' R " { x } ) = { y | y R x }
6	5	ineq2i 3371	. . . . 5 |- ( A i^i ( `' R " { x } ) ) = ( A i^i { y | y R x } )
7	2, 6	eqtr4i 2229	. . . 4 |- { y e. A | y R x } = ( A i^i ( `' R " { x } ) )
8	7	eleq1i 2271	. . 3 |- ( { y e. A | y R x } e. _V <-> ( A i^i ( `' R " { x } ) ) e. _V )
9	8	ralbii 2512	. 2 |- ( A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V <-> A. x e. A ( A i^i ( `' R " { x } ) ) e. _V )
10	1, 9	bitri 184	1 |- ( R Se A <-> A. x e. A ( A i^i ( `' R " { x } ) ) e. _V )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   {cab 2191   A.wral 2484   {crab 2488   _Vcvv 2772   i^i cin 3165   {csn 3633   class class class wbr 4044   Se wse 4376   `'ccnv 4674   "cima 4678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-opab 4106  df-se 4380  df-xp 4681  df-cnv 4683  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688

This theorem is referenced by:  isoselem  5889