Theorem dfse2 5042

Description: Alternate definition of set-like relation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfse2	|- ( R Se A <-> A. x e. A ( A i^i ( `' R " { x } ) ) e. _V )

Distinct variable groups:   x, A   x, R

Proof of Theorem dfse2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-se 4368	. 2 |- ( R Se A <-> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
2		dfrab3 3439	. . . . 5 |- { y e. A | y R x } = ( A i^i { y | y R x } )
3		vex 2766	. . . . . . 7 |- x e. _V
4		iniseg 5041	. . . . . . 7 |- ( x e. _V -> ( `' R " { x } ) = { y | y R x } )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( `' R " { x } ) = { y | y R x }
6	5	ineq2i 3361	. . . . 5 |- ( A i^i ( `' R " { x } ) ) = ( A i^i { y | y R x } )
7	2, 6	eqtr4i 2220	. . . 4 |- { y e. A | y R x } = ( A i^i ( `' R " { x } ) )
8	7	eleq1i 2262	. . 3 |- ( { y e. A | y R x } e. _V <-> ( A i^i ( `' R " { x } ) ) e. _V )
9	8	ralbii 2503	. 2 |- ( A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V <-> A. x e. A ( A i^i ( `' R " { x } ) ) e. _V )
10	1, 9	bitri 184	1 |- ( R Se A <-> A. x e. A ( A i^i ( `' R " { x } ) ) e. _V )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   {cab 2182   A.wral 2475   {crab 2479   _Vcvv 2763   i^i cin 3156   {csn 3622   class class class wbr 4033   Se wse 4364   `'ccnv 4662   "cima 4666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-se 4368  df-xp 4669  df-cnv 4671  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676

This theorem is referenced by:  isoselem  5867