Theorem dfse2 4984

Description: Alternate definition of set-like relation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfse2	|- ( R Se A <-> A. x e. A ( A i^i ( `' R " { x } ) ) e. _V )

Distinct variable groups:   x, A   x, R

Proof of Theorem dfse2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-se 4318	. 2 |- ( R Se A <-> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
2		dfrab3 3403	. . . . 5 |- { y e. A | y R x } = ( A i^i { y | y R x } )
3		vex 2733	. . . . . . 7 |- x e. _V
4		iniseg 4983	. . . . . . 7 |- ( x e. _V -> ( `' R " { x } ) = { y | y R x } )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( `' R " { x } ) = { y | y R x }
6	5	ineq2i 3325	. . . . 5 |- ( A i^i ( `' R " { x } ) ) = ( A i^i { y | y R x } )
7	2, 6	eqtr4i 2194	. . . 4 |- { y e. A | y R x } = ( A i^i ( `' R " { x } ) )
8	7	eleq1i 2236	. . 3 |- ( { y e. A | y R x } e. _V <-> ( A i^i ( `' R " { x } ) ) e. _V )
9	8	ralbii 2476	. 2 |- ( A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V <-> A. x e. A ( A i^i ( `' R " { x } ) ) e. _V )
10	1, 9	bitri 183	1 |- ( R Se A <-> A. x e. A ( A i^i ( `' R " { x } ) ) e. _V )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   {crab 2452   _Vcvv 2730   i^i cin 3120   {csn 3583   class class class wbr 3989   Se wse 4314   `'ccnv 4610   "cima 4614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-se 4318  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624

This theorem is referenced by:  isoselem  5799