Theorem tgidm 12724

Description: The topology generator function is idempotent. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgidm	|- ( B e. V -> ( topGen ` ( topGen ` B ) ) = ( topGen ` B ) )

Proof of Theorem tgidm

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgvalex 12700	. . . . 5 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) e. _V )
2		eltg3 12707	. . . . 5 |- ( ( topGen ` B ) e. _V -> ( x e. ( topGen ` ( topGen ` B ) ) <-> E. y ( y C_ ( topGen ` B ) /\ x = U. y ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( B e. V -> ( x e. ( topGen ` ( topGen ` B ) ) <-> E. y ( y C_ ( topGen ` B ) /\ x = U. y ) ) )
4		uniiun 3919	. . . . . . . . . 10 |- U. y = U_ z e. y z
5		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> y C_ ( topGen ` B ) )
6	5	sselda 3142	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) /\ z e. y ) -> z e. ( topGen ` B ) )
7		eltg4i 12705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( topGen ` B ) -> z = U. ( B i^i ~P z ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) /\ z e. y ) -> z = U. ( B i^i ~P z ) )
9	8	iuneq2dv 3887	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U_ z e. y z = U_ z e. y U. ( B i^i ~P z ) )
10	4, 9	syl5eq 2211	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U. y = U_ z e. y U. ( B i^i ~P z ) )
11		iuncom4 3873	. . . . . . . . 9 |- U_ z e. y U. ( B i^i ~P z ) = U. U_ z e. y ( B i^i ~P z )
12	10, 11	eqtrdi 2215	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U. y = U. U_ z e. y ( B i^i ~P z ) )
13		inss1 3342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B i^i ~P z ) C_ B
14	13	rgenw 2521	. . . . . . . . . . 11 |- A. z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B
15		iunss 3907	. . . . . . . . . . 11 |- ( U_ z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B <-> A. z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B )
16	14, 15	mpbir 145	. . . . . . . . . 10 |- U_ z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B
17	16	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( y C_ ( topGen ` B ) -> U_ z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B )
18		eltg3i 12706	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. V /\ U_ z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B ) -> U. U_ z e. y ( B i^i ~P z ) e. ( topGen ` B ) )
19	17, 18	sylan2 284	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U. U_ z e. y ( B i^i ~P z ) e. ( topGen ` B ) )
20	12, 19	eqeltrd 2243	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U. y e. ( topGen ` B ) )
21		eleq1 2229	. . . . . . 7 |- ( x = U. y -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> U. y e. ( topGen ` B ) ) )
22	20, 21	syl5ibrcom 156	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> ( x = U. y -> x e. ( topGen ` B ) ) )
23	22	expimpd 361	. . . . 5 |- ( B e. V -> ( ( y C_ ( topGen ` B ) /\ x = U. y ) -> x e. ( topGen ` B ) ) )
24	23	exlimdv 1807	. . . 4 |- ( B e. V -> ( E. y ( y C_ ( topGen ` B ) /\ x = U. y ) -> x e. ( topGen ` B ) ) )
25	3, 24	sylbid 149	. . 3 |- ( B e. V -> ( x e. ( topGen ` ( topGen ` B ) ) -> x e. ( topGen ` B ) ) )
26	25	ssrdv 3148	. 2 |- ( B e. V -> ( topGen ` ( topGen ` B ) ) C_ ( topGen ` B ) )
27		bastg 12711	. . 3 |- ( B e. V -> B C_ ( topGen ` B ) )
28		tgss 12713	. . 3 |- ( ( ( topGen ` B ) e. _V /\ B C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` B ) ) )
29	1, 27, 28	syl2anc 409	. 2 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` B ) ) )
30	26, 29	eqssd 3159	1 |- ( B e. V -> ( topGen ` ( topGen ` B ) ) = ( topGen ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2444   _Vcvv 2726   i^i cin 3115   C_ wss 3116   ~Pcpw 3559   U.cuni 3789   U_ciun 3866   ` cfv 5188   topGenctg 12571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-topgen 12577

This theorem is referenced by:  tgss3  12728  txbasval  12917