Theorem tgidm 14253

Description: The topology generator function is idempotent. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgidm	|- ( B e. V -> ( topGen ` ( topGen ` B ) ) = ( topGen ` B ) )

Proof of Theorem tgidm

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgvalex 12877	. . . . 5 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) e. _V )
2		eltg3 14236	. . . . 5 |- ( ( topGen ` B ) e. _V -> ( x e. ( topGen ` ( topGen ` B ) ) <-> E. y ( y C_ ( topGen ` B ) /\ x = U. y ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( B e. V -> ( x e. ( topGen ` ( topGen ` B ) ) <-> E. y ( y C_ ( topGen ` B ) /\ x = U. y ) ) )
4		uniiun 3967	. . . . . . . . . 10 |- U. y = U_ z e. y z
5		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> y C_ ( topGen ` B ) )
6	5	sselda 3180	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) /\ z e. y ) -> z e. ( topGen ` B ) )
7		eltg4i 14234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( topGen ` B ) -> z = U. ( B i^i ~P z ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) /\ z e. y ) -> z = U. ( B i^i ~P z ) )
9	8	iuneq2dv 3934	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U_ z e. y z = U_ z e. y U. ( B i^i ~P z ) )
10	4, 9	eqtrid 2238	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U. y = U_ z e. y U. ( B i^i ~P z ) )
11		iuncom4 3920	. . . . . . . . 9 |- U_ z e. y U. ( B i^i ~P z ) = U. U_ z e. y ( B i^i ~P z )
12	10, 11	eqtrdi 2242	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U. y = U. U_ z e. y ( B i^i ~P z ) )
13		inss1 3380	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B i^i ~P z ) C_ B
14	13	rgenw 2549	. . . . . . . . . . 11 |- A. z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B
15		iunss 3954	. . . . . . . . . . 11 |- ( U_ z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B <-> A. z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B )
16	14, 15	mpbir 146	. . . . . . . . . 10 |- U_ z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B
17	16	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( y C_ ( topGen ` B ) -> U_ z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B )
18		eltg3i 14235	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. V /\ U_ z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B ) -> U. U_ z e. y ( B i^i ~P z ) e. ( topGen ` B ) )
19	17, 18	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U. U_ z e. y ( B i^i ~P z ) e. ( topGen ` B ) )
20	12, 19	eqeltrd 2270	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U. y e. ( topGen ` B ) )
21		eleq1 2256	. . . . . . 7 |- ( x = U. y -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> U. y e. ( topGen ` B ) ) )
22	20, 21	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> ( x = U. y -> x e. ( topGen ` B ) ) )
23	22	expimpd 363	. . . . 5 |- ( B e. V -> ( ( y C_ ( topGen ` B ) /\ x = U. y ) -> x e. ( topGen ` B ) ) )
24	23	exlimdv 1830	. . . 4 |- ( B e. V -> ( E. y ( y C_ ( topGen ` B ) /\ x = U. y ) -> x e. ( topGen ` B ) ) )
25	3, 24	sylbid 150	. . 3 |- ( B e. V -> ( x e. ( topGen ` ( topGen ` B ) ) -> x e. ( topGen ` B ) ) )
26	25	ssrdv 3186	. 2 |- ( B e. V -> ( topGen ` ( topGen ` B ) ) C_ ( topGen ` B ) )
27		bastg 14240	. . 3 |- ( B e. V -> B C_ ( topGen ` B ) )
28		tgss 14242	. . 3 |- ( ( ( topGen ` B ) e. _V /\ B C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` B ) ) )
29	1, 27, 28	syl2anc 411	. 2 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` B ) ) )
30	26, 29	eqssd 3197	1 |- ( B e. V -> ( topGen ` ( topGen ` B ) ) = ( topGen ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760   i^i cin 3153   C_ wss 3154   ~Pcpw 3602   U.cuni 3836   U_ciun 3913   ` cfv 5255   topGenctg 12868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-topgen 12874

This theorem is referenced by:  tgss3  14257  txbasval  14446