Theorem tgidm 14661

Description: The topology generator function is idempotent. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgidm	|- ( B e. V -> ( topGen ` ( topGen ` B ) ) = ( topGen ` B ) )

Proof of Theorem tgidm

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgvalex 13210	. . . . 5 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) e. _V )
2		eltg3 14644	. . . . 5 |- ( ( topGen ` B ) e. _V -> ( x e. ( topGen ` ( topGen ` B ) ) <-> E. y ( y C_ ( topGen ` B ) /\ x = U. y ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( B e. V -> ( x e. ( topGen ` ( topGen ` B ) ) <-> E. y ( y C_ ( topGen ` B ) /\ x = U. y ) ) )
4		uniiun 3995	. . . . . . . . . 10 |- U. y = U_ z e. y z
5		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> y C_ ( topGen ` B ) )
6	5	sselda 3201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) /\ z e. y ) -> z e. ( topGen ` B ) )
7		eltg4i 14642	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( topGen ` B ) -> z = U. ( B i^i ~P z ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) /\ z e. y ) -> z = U. ( B i^i ~P z ) )
9	8	iuneq2dv 3962	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U_ z e. y z = U_ z e. y U. ( B i^i ~P z ) )
10	4, 9	eqtrid 2252	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U. y = U_ z e. y U. ( B i^i ~P z ) )
11		iuncom4 3948	. . . . . . . . 9 |- U_ z e. y U. ( B i^i ~P z ) = U. U_ z e. y ( B i^i ~P z )
12	10, 11	eqtrdi 2256	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U. y = U. U_ z e. y ( B i^i ~P z ) )
13		inss1 3401	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B i^i ~P z ) C_ B
14	13	rgenw 2563	. . . . . . . . . . 11 |- A. z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B
15		iunss 3982	. . . . . . . . . . 11 |- ( U_ z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B <-> A. z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B )
16	14, 15	mpbir 146	. . . . . . . . . 10 |- U_ z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B
17	16	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( y C_ ( topGen ` B ) -> U_ z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B )
18		eltg3i 14643	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. V /\ U_ z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B ) -> U. U_ z e. y ( B i^i ~P z ) e. ( topGen ` B ) )
19	17, 18	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U. U_ z e. y ( B i^i ~P z ) e. ( topGen ` B ) )
20	12, 19	eqeltrd 2284	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U. y e. ( topGen ` B ) )
21		eleq1 2270	. . . . . . 7 |- ( x = U. y -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> U. y e. ( topGen ` B ) ) )
22	20, 21	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> ( x = U. y -> x e. ( topGen ` B ) ) )
23	22	expimpd 363	. . . . 5 |- ( B e. V -> ( ( y C_ ( topGen ` B ) /\ x = U. y ) -> x e. ( topGen ` B ) ) )
24	23	exlimdv 1843	. . . 4 |- ( B e. V -> ( E. y ( y C_ ( topGen ` B ) /\ x = U. y ) -> x e. ( topGen ` B ) ) )
25	3, 24	sylbid 150	. . 3 |- ( B e. V -> ( x e. ( topGen ` ( topGen ` B ) ) -> x e. ( topGen ` B ) ) )
26	25	ssrdv 3207	. 2 |- ( B e. V -> ( topGen ` ( topGen ` B ) ) C_ ( topGen ` B ) )
27		bastg 14648	. . 3 |- ( B e. V -> B C_ ( topGen ` B ) )
28		tgss 14650	. . 3 |- ( ( ( topGen ` B ) e. _V /\ B C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` B ) ) )
29	1, 27, 28	syl2anc 411	. 2 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` B ) ) )
30	26, 29	eqssd 3218	1 |- ( B e. V -> ( topGen ` ( topGen ` B ) ) = ( topGen ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   A.wral 2486   _Vcvv 2776   i^i cin 3173   C_ wss 3174   ~Pcpw 3626   U.cuni 3864   U_ciun 3941   ` cfv 5290   topGenctg 13201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-topgen 13207

This theorem is referenced by:  tgss3  14665  txbasval  14854