Theorem tgidm 12868

Description: The topology generator function is idempotent. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgidm	|- ( B e. V -> ( topGen ` ( topGen ` B ) ) = ( topGen ` B ) )

Proof of Theorem tgidm

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgvalex 12844	. . . . 5 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) e. _V )
2		eltg3 12851	. . . . 5 |- ( ( topGen ` B ) e. _V -> ( x e. ( topGen ` ( topGen ` B ) ) <-> E. y ( y C_ ( topGen ` B ) /\ x = U. y ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( B e. V -> ( x e. ( topGen ` ( topGen ` B ) ) <-> E. y ( y C_ ( topGen ` B ) /\ x = U. y ) ) )
4		uniiun 3926	. . . . . . . . . 10 |- U. y = U_ z e. y z
5		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> y C_ ( topGen ` B ) )
6	5	sselda 3147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) /\ z e. y ) -> z e. ( topGen ` B ) )
7		eltg4i 12849	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( topGen ` B ) -> z = U. ( B i^i ~P z ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) /\ z e. y ) -> z = U. ( B i^i ~P z ) )
9	8	iuneq2dv 3894	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U_ z e. y z = U_ z e. y U. ( B i^i ~P z ) )
10	4, 9	eqtrid 2215	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U. y = U_ z e. y U. ( B i^i ~P z ) )
11		iuncom4 3880	. . . . . . . . 9 |- U_ z e. y U. ( B i^i ~P z ) = U. U_ z e. y ( B i^i ~P z )
12	10, 11	eqtrdi 2219	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U. y = U. U_ z e. y ( B i^i ~P z ) )
13		inss1 3347	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B i^i ~P z ) C_ B
14	13	rgenw 2525	. . . . . . . . . . 11 |- A. z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B
15		iunss 3914	. . . . . . . . . . 11 |- ( U_ z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B <-> A. z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B )
16	14, 15	mpbir 145	. . . . . . . . . 10 |- U_ z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B
17	16	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( y C_ ( topGen ` B ) -> U_ z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B )
18		eltg3i 12850	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. V /\ U_ z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B ) -> U. U_ z e. y ( B i^i ~P z ) e. ( topGen ` B ) )
19	17, 18	sylan2 284	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U. U_ z e. y ( B i^i ~P z ) e. ( topGen ` B ) )
20	12, 19	eqeltrd 2247	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U. y e. ( topGen ` B ) )
21		eleq1 2233	. . . . . . 7 |- ( x = U. y -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> U. y e. ( topGen ` B ) ) )
22	20, 21	syl5ibrcom 156	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> ( x = U. y -> x e. ( topGen ` B ) ) )
23	22	expimpd 361	. . . . 5 |- ( B e. V -> ( ( y C_ ( topGen ` B ) /\ x = U. y ) -> x e. ( topGen ` B ) ) )
24	23	exlimdv 1812	. . . 4 |- ( B e. V -> ( E. y ( y C_ ( topGen ` B ) /\ x = U. y ) -> x e. ( topGen ` B ) ) )
25	3, 24	sylbid 149	. . 3 |- ( B e. V -> ( x e. ( topGen ` ( topGen ` B ) ) -> x e. ( topGen ` B ) ) )
26	25	ssrdv 3153	. 2 |- ( B e. V -> ( topGen ` ( topGen ` B ) ) C_ ( topGen ` B ) )
27		bastg 12855	. . 3 |- ( B e. V -> B C_ ( topGen ` B ) )
28		tgss 12857	. . 3 |- ( ( ( topGen ` B ) e. _V /\ B C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` B ) ) )
29	1, 27, 28	syl2anc 409	. 2 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` B ) ) )
30	26, 29	eqssd 3164	1 |- ( B e. V -> ( topGen ` ( topGen ` B ) ) = ( topGen ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   _Vcvv 2730   i^i cin 3120   C_ wss 3121   ~Pcpw 3566   U.cuni 3796   U_ciun 3873   ` cfv 5198   topGenctg 12594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-topgen 12600

This theorem is referenced by:  tgss3  12872  txbasval  13061