Theorem tgidm 14939

Description: The topology generator function is idempotent. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgidm	|- ( B e. V -> ( topGen ` ( topGen ` B ) ) = ( topGen ` B ) )

Proof of Theorem tgidm

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgvalex 13476	. . . . 5 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) e. _V )
2		eltg3 14922	. . . . 5 |- ( ( topGen ` B ) e. _V -> ( x e. ( topGen ` ( topGen ` B ) ) <-> E. y ( y C_ ( topGen ` B ) /\ x = U. y ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( B e. V -> ( x e. ( topGen ` ( topGen ` B ) ) <-> E. y ( y C_ ( topGen ` B ) /\ x = U. y ) ) )
4		uniiun 4045	. . . . . . . . . 10 |- U. y = U_ z e. y z
5		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> y C_ ( topGen ` B ) )
6	5	sselda 3238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) /\ z e. y ) -> z e. ( topGen ` B ) )
7		eltg4i 14920	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( topGen ` B ) -> z = U. ( B i^i ~P z ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) /\ z e. y ) -> z = U. ( B i^i ~P z ) )
9	8	iuneq2dv 4012	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U_ z e. y z = U_ z e. y U. ( B i^i ~P z ) )
10	4, 9	eqtrid 2277	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U. y = U_ z e. y U. ( B i^i ~P z ) )
11		iuncom4 3998	. . . . . . . . 9 |- U_ z e. y U. ( B i^i ~P z ) = U. U_ z e. y ( B i^i ~P z )
12	10, 11	eqtrdi 2281	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U. y = U. U_ z e. y ( B i^i ~P z ) )
13		inss1 3441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B i^i ~P z ) C_ B
14	13	rgenw 2597	. . . . . . . . . . 11 |- A. z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B
15		iunss 4032	. . . . . . . . . . 11 |- ( U_ z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B <-> A. z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B )
16	14, 15	mpbir 146	. . . . . . . . . 10 |- U_ z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B
17	16	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( y C_ ( topGen ` B ) -> U_ z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B )
18		eltg3i 14921	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. V /\ U_ z e. y ( B i^i ~P z ) C_ B ) -> U. U_ z e. y ( B i^i ~P z ) e. ( topGen ` B ) )
19	17, 18	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U. U_ z e. y ( B i^i ~P z ) e. ( topGen ` B ) )
20	12, 19	eqeltrd 2309	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> U. y e. ( topGen ` B ) )
21		eleq1 2295	. . . . . . 7 |- ( x = U. y -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> U. y e. ( topGen ` B ) ) )
22	20, 21	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ y C_ ( topGen ` B ) ) -> ( x = U. y -> x e. ( topGen ` B ) ) )
23	22	expimpd 363	. . . . 5 |- ( B e. V -> ( ( y C_ ( topGen ` B ) /\ x = U. y ) -> x e. ( topGen ` B ) ) )
24	23	exlimdv 1868	. . . 4 |- ( B e. V -> ( E. y ( y C_ ( topGen ` B ) /\ x = U. y ) -> x e. ( topGen ` B ) ) )
25	3, 24	sylbid 150	. . 3 |- ( B e. V -> ( x e. ( topGen ` ( topGen ` B ) ) -> x e. ( topGen ` B ) ) )
26	25	ssrdv 3244	. 2 |- ( B e. V -> ( topGen ` ( topGen ` B ) ) C_ ( topGen ` B ) )
27		bastg 14926	. . 3 |- ( B e. V -> B C_ ( topGen ` B ) )
28		tgss 14928	. . 3 |- ( ( ( topGen ` B ) e. _V /\ B C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` B ) ) )
29	1, 27, 28	syl2anc 411	. 2 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` B ) ) )
30	26, 29	eqssd 3255	1 |- ( B e. V -> ( topGen ` ( topGen ` B ) ) = ( topGen ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   A.wral 2520   _Vcvv 2813   i^i cin 3210   C_ wss 3211   ~Pcpw 3669   U.cuni 3914   U_ciun 3991   ` cfv 5352   topGenctg 13467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-topgen 13473

This theorem is referenced by:  tgss3  14943  txbasval  15132