Theorem npsspw 7374

Description: Lemma for proving existence of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
npsspw	⊢ P ⊆ (𝒫 Q × 𝒫 Q)

Proof of Theorem npsspw

Dummy variables 𝑢 𝑙 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 519	. . . 4 ⊢ ((((𝑙 ⊆ Q ∧ 𝑢 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝑙 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑢)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝑙 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝑙)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝑙 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝑙 ∨ 𝑟 ∈ 𝑢)))) → (𝑙 ⊆ Q ∧ 𝑢 ⊆ Q))
2		velpw 3550	. . . . 5 ⊢ (𝑙 ∈ 𝒫 Q ↔ 𝑙 ⊆ Q)
3		velpw 3550	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ 𝒫 Q ↔ 𝑢 ⊆ Q)
4	2, 3	anbi12i 456	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝒫 Q ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 Q) ↔ (𝑙 ⊆ Q ∧ 𝑢 ⊆ Q))
5	1, 4	sylibr 133	. . 3 ⊢ ((((𝑙 ⊆ Q ∧ 𝑢 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝑙 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑢)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝑙 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝑙)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝑙 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝑙 ∨ 𝑟 ∈ 𝑢)))) → (𝑙 ∈ 𝒫 Q ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 Q))
6	5	ssopab2i 4236	. 2 ⊢ {⟨𝑙, 𝑢⟩ ∣ (((𝑙 ⊆ Q ∧ 𝑢 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝑙 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑢)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝑙 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝑙)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝑙 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝑙 ∨ 𝑟 ∈ 𝑢))))} ⊆ {⟨𝑙, 𝑢⟩ ∣ (𝑙 ∈ 𝒫 Q ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 Q)}
7		df-inp 7369	. 2 ⊢ P = {⟨𝑙, 𝑢⟩ ∣ (((𝑙 ⊆ Q ∧ 𝑢 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝑙 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑢)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝑙 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝑙)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝑙 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝑙 ∨ 𝑟 ∈ 𝑢))))}
8		df-xp 4589	. 2 ⊢ (𝒫 Q × 𝒫 Q) = {⟨𝑙, 𝑢⟩ ∣ (𝑙 ∈ 𝒫 Q ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 Q)}
9	6, 7, 8	3sstr4i 3169	1 ⊢ P ⊆ (𝒫 Q × 𝒫 Q)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∧ w3a 963   ∈ wcel 2128  ∀wral 2435  ∃wrex 2436   ⊆ wss 3102  𝒫 cpw 3543   class class class wbr 3965  {copab 4024   × cxp 4581  Qcnq 7183   <_Q cltq 7188  Pcnp 7194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-v 2714  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-opab 4026  df-xp 4589  df-inp 7369

This theorem is referenced by:  preqlu  7375  npex  7376  elinp  7377  prop  7378  elnp1st2nd  7379  cauappcvgprlemladd  7561