Theorem velpw 3695

Description: Setvar variable membership in a power class (common case). See elpw 3694. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
velpw	|- ( x e. ~P A <-> x C_ A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem velpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. 2 |- x e. _V
2	1	elpw 3694	1 |- ( x e. ~P A <-> x C_ A )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   e. wcel 2209   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690

This theorem is used by:  sspw  3702  ordpwsucss  4714  fabexg  5579  abexssex  6354  qsss  6868  fsetsspwxp  6948  mapval2  6959  pmsspw  6964  uniixp  7003  exmidpw  7215  exmidpweq  7216  pw1fin  7217  pw1dc0el  7218  fival  7304  npsspw  7838  ballotfilem2  13277  restsspw  13652  subsubrng2  14572  subsubrg2  14603  lssintclm  14770  istopon  15163  isbasis2g  15195  tgval2  15201  unitg  15212  distop  15235  cldss2  15256  ntreq0  15282  discld  15286  neisspw  15298  restdis  15334  cnntr  15375  exmidnotnotr  17134