Theorem velpw 3678

Description: Setvar variable membership in a power class (common case). See elpw 3677. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
velpw	|- ( x e. ~P A <-> x C_ A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem velpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2818	. 2 |- x e. _V
2	1	elpw 3677	1 |- ( x e. ~P A <-> x C_ A )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2205   C_ wss 3213   ~Pcpw 3671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673

This theorem is referenced by:  sspw  3684  ordpwsucss  4691  fabexg  5556  abexssex  6320  qsss  6830  mapval2  6914  pmsspw  6919  uniixp  6958  exmidpw  7170  exmidpweq  7171  pw1fin  7172  pw1dc0el  7173  fival  7259  npsspw  7788  ballotfilem2  13149  restsspw  13479  subsubrng2  14377  subsubrg2  14408  lssintclm  14549  istopon  14895  isbasis2g  14927  tgval2  14933  unitg  14944  distop  14967  cldss2  14988  ntreq0  15014  discld  15018  neisspw  15030  restdis  15066  cnntr  15107  exmidnotnotr  16796