Theorem velpw 3517

Description: Setvar variable membership in a power class (common case). See elpw 3516. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
velpw	|- ( x e. ~P A <-> x C_ A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem velpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2689	. 2 |- x e. _V
2	1	elpw 3516	1 |- ( x e. ~P A <-> x C_ A )

Syntax hints:   <-> wb 104   e. wcel 1480   C_ wss 3071   ~Pcpw 3510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512

This theorem is referenced by:  ordpwsucss  4482  fabexg  5310  abexssex  6023  qsss  6488  mapval2  6572  pmsspw  6577  uniixp  6615  exmidpw  6802  fival  6858  npsspw  7279  restsspw  12130  istopon  12180  isbasis2g  12212  tgval2  12220  unitg  12231  distop  12254  cldss2  12275  ntreq0  12301  discld  12305  neisspw  12317  restdis  12353  cnntr  12394