Theorem velpw 3692

Description: Setvar variable membership in a power class (common case). See elpw 3691. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
velpw	|- ( x e. ~P A <-> x C_ A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem velpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. 2 |- x e. _V
2	1	elpw 3691	1 |- ( x e. ~P A <-> x C_ A )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2209   C_ wss 3220   ~Pcpw 3685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687

This theorem is referenced by:  sspw  3698  ordpwsucss  4709  fabexg  5574  abexssex  6344  qsss  6858  fsetsspwxp  6938  mapval2  6949  pmsspw  6954  uniixp  6993  exmidpw  7205  exmidpweq  7206  pw1fin  7207  pw1dc0el  7208  fival  7294  npsspw  7828  ballotfilem2  13206  restsspw  13580  subsubrng2  14496  subsubrg2  14527  lssintclm  14693  istopon  15037  isbasis2g  15069  tgval2  15075  unitg  15086  distop  15109  cldss2  15130  ntreq0  15156  discld  15160  neisspw  15172  restdis  15208  cnntr  15249  exmidnotnotr  16949