Theorem velpw 3695

Description: Setvar variable membership in a power class (common case). See elpw 3694. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
velpw	|- ( x e. ~P A <-> x C_ A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem velpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. 2 |- x e. _V
2	1	elpw 3694	1 |- ( x e. ~P A <-> x C_ A )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   e. wcel 2209   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690

This theorem is used by:  sspw  3702  ordpwsucss  4716  fabexg  5582  abexssex  6358  qsss  6873  fsetsspwxp  6953  mapval2  6964  pmsspw  6969  uniixp  7009  exmidpw  7221  exmidpweq  7222  pw1fin  7223  pw1dc0el  7224  fival  7309  npsspw  7844  ballotfilem2  13285  restsspw  13661  subsubrng2  14631  subsubrg2  14662  lssintclm  14829  istopon  15256  isbasis2g  15288  tgval2  15294  unitg  15305  distop  15328  cldss2  15349  ntreq0  15375  discld  15379  neisspw  15391  restdis  15427  cnntr  15468  exmidnotnotr  17258