Theorem prop 7474

Description: A positive real is an ordered pair of a lower cut and an upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prop	|- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )

Proof of Theorem prop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		npsspw 7470	. . . 4 |- P. C_ ( ~P Q. X. ~P Q. )
2	1	sseli 3152	. . 3 |- ( A e. P. -> A e. ( ~P Q. X. ~P Q. ) )
3		1st2nd2 6176	. . 3 |- ( A e. ( ~P Q. X. ~P Q. ) -> A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( A e. P. -> A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. )
5		eleq1 2240	. . 3 |- ( A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. -> ( A e. P. <-> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. ) )
6	5	biimpcd 159	. 2 |- ( A e. P. -> ( A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. ) )
7	4, 6	mpd 13	1 |- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   ~Pcpw 3576   <.cop 3596   X. cxp 4625   ` cfv 5217   1stc1st 6139   2ndc2nd 6140   Q.cnq 7279   P.cnp 7290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-sbc 2964  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-inp 7465

This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  7475  0npr  7482  genpdf  7507  genipv  7508  genpelvl  7511  genpelvu  7512  genpml  7516  genpmu  7517  genprndl  7520  genprndu  7521  genpdisj  7522  genpassl  7523  genpassu  7524  addnqprl  7528  addnqpru  7529  addlocprlemeqgt  7531  addlocprlemgt  7533  addlocprlem  7534  addlocpr  7535  nqprl  7550  nqpru  7551  addnqprlemfl  7558  addnqprlemfu  7559  mulnqprl  7567  mulnqpru  7568  mullocprlem  7569  mullocpr  7570  mulnqprlemfl  7574  mulnqprlemfu  7575  addcomprg  7577  mulcomprg  7579  distrlem1prl  7581  distrlem1pru  7582  distrlem4prl  7583  distrlem4pru  7584  ltprordil  7588  1idprl  7589  1idpru  7590  ltpopr  7594  ltsopr  7595  ltaddpr  7596  ltexprlemm  7599  ltexprlemopl  7600  ltexprlemlol  7601  ltexprlemopu  7602  ltexprlemupu  7603  ltexprlemdisj  7605  ltexprlemloc  7606  ltexprlemfl  7608  ltexprlemrl  7609  ltexprlemfu  7610  ltexprlemru  7611  addcanprleml  7613  addcanprlemu  7614  prplnqu  7619  recexprlemm  7623  recexprlemdisj  7629  recexprlemloc  7630  recexprlem1ssl  7632  recexprlem1ssu  7633  recexprlemss1l  7634  recexprlemss1u  7635  aptiprleml  7638  aptiprlemu  7639  archpr  7642  cauappcvgprlemladdru  7655  cauappcvgprlemladdrl  7656  archrecpr  7663  caucvgprlemladdrl  7677  caucvgprprlemml  7693  caucvgprprlemmu  7694  caucvgprprlemopl  7696  suplocexprlemml  7715  suplocexprlemrl  7716  suplocexprlemmu  7717  suplocexprlemdisj  7719  suplocexprlemloc  7720  suplocexprlemex  7721  suplocexprlemub  7722