Theorem prop 7683

Description: A positive real is an ordered pair of a lower cut and an upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prop	|- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )

Proof of Theorem prop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		npsspw 7679	. . . 4 |- P. C_ ( ~P Q. X. ~P Q. )
2	1	sseli 3221	. . 3 |- ( A e. P. -> A e. ( ~P Q. X. ~P Q. ) )
3		1st2nd2 6331	. . 3 |- ( A e. ( ~P Q. X. ~P Q. ) -> A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( A e. P. -> A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. )
5		eleq1 2292	. . 3 |- ( A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. -> ( A e. P. <-> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. ) )
6	5	biimpcd 159	. 2 |- ( A e. P. -> ( A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. ) )
7	4, 6	mpd 13	1 |- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   ~Pcpw 3650   <.cop 3670   X. cxp 4719   ` cfv 5322   1stc1st 6294   2ndc2nd 6295   Q.cnq 7488   P.cnp 7499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-id 4386  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fv 5330  df-1st 6296  df-2nd 6297  df-inp 7674

This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  7684  0npr  7691  genpdf  7716  genipv  7717  genpelvl  7720  genpelvu  7721  genpml  7725  genpmu  7726  genprndl  7729  genprndu  7730  genpdisj  7731  genpassl  7732  genpassu  7733  addnqprl  7737  addnqpru  7738  addlocprlemeqgt  7740  addlocprlemgt  7742  addlocprlem  7743  addlocpr  7744  nqprl  7759  nqpru  7760  addnqprlemfl  7767  addnqprlemfu  7768  mulnqprl  7776  mulnqpru  7777  mullocprlem  7778  mullocpr  7779  mulnqprlemfl  7783  mulnqprlemfu  7784  addcomprg  7786  mulcomprg  7788  distrlem1prl  7790  distrlem1pru  7791  distrlem4prl  7792  distrlem4pru  7793  ltprordil  7797  1idprl  7798  1idpru  7799  ltpopr  7803  ltsopr  7804  ltaddpr  7805  ltexprlemm  7808  ltexprlemopl  7809  ltexprlemlol  7810  ltexprlemopu  7811  ltexprlemupu  7812  ltexprlemdisj  7814  ltexprlemloc  7815  ltexprlemfl  7817  ltexprlemrl  7818  ltexprlemfu  7819  ltexprlemru  7820  addcanprleml  7822  addcanprlemu  7823  prplnqu  7828  recexprlemm  7832  recexprlemdisj  7838  recexprlemloc  7839  recexprlem1ssl  7841  recexprlem1ssu  7842  recexprlemss1l  7843  recexprlemss1u  7844  aptiprleml  7847  aptiprlemu  7848  archpr  7851  cauappcvgprlemladdru  7864  cauappcvgprlemladdrl  7865  archrecpr  7872  caucvgprlemladdrl  7886  caucvgprprlemml  7902  caucvgprprlemmu  7903  caucvgprprlemopl  7905  suplocexprlemml  7924  suplocexprlemrl  7925  suplocexprlemmu  7926  suplocexprlemdisj  7928  suplocexprlemloc  7929  suplocexprlemex  7930  suplocexprlemub  7931