Theorem prop 7542

Description: A positive real is an ordered pair of a lower cut and an upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prop	|- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )

Proof of Theorem prop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		npsspw 7538	. . . 4 |- P. C_ ( ~P Q. X. ~P Q. )
2	1	sseli 3179	. . 3 |- ( A e. P. -> A e. ( ~P Q. X. ~P Q. ) )
3		1st2nd2 6233	. . 3 |- ( A e. ( ~P Q. X. ~P Q. ) -> A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( A e. P. -> A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. )
5		eleq1 2259	. . 3 |- ( A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. -> ( A e. P. <-> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. ) )
6	5	biimpcd 159	. 2 |- ( A e. P. -> ( A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. ) )
7	4, 6	mpd 13	1 |- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   ~Pcpw 3605   <.cop 3625   X. cxp 4661   ` cfv 5258   1stc1st 6196   2ndc2nd 6197   Q.cnq 7347   P.cnp 7358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-inp 7533

This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  7543  0npr  7550  genpdf  7575  genipv  7576  genpelvl  7579  genpelvu  7580  genpml  7584  genpmu  7585  genprndl  7588  genprndu  7589  genpdisj  7590  genpassl  7591  genpassu  7592  addnqprl  7596  addnqpru  7597  addlocprlemeqgt  7599  addlocprlemgt  7601  addlocprlem  7602  addlocpr  7603  nqprl  7618  nqpru  7619  addnqprlemfl  7626  addnqprlemfu  7627  mulnqprl  7635  mulnqpru  7636  mullocprlem  7637  mullocpr  7638  mulnqprlemfl  7642  mulnqprlemfu  7643  addcomprg  7645  mulcomprg  7647  distrlem1prl  7649  distrlem1pru  7650  distrlem4prl  7651  distrlem4pru  7652  ltprordil  7656  1idprl  7657  1idpru  7658  ltpopr  7662  ltsopr  7663  ltaddpr  7664  ltexprlemm  7667  ltexprlemopl  7668  ltexprlemlol  7669  ltexprlemopu  7670  ltexprlemupu  7671  ltexprlemdisj  7673  ltexprlemloc  7674  ltexprlemfl  7676  ltexprlemrl  7677  ltexprlemfu  7678  ltexprlemru  7679  addcanprleml  7681  addcanprlemu  7682  prplnqu  7687  recexprlemm  7691  recexprlemdisj  7697  recexprlemloc  7698  recexprlem1ssl  7700  recexprlem1ssu  7701  recexprlemss1l  7702  recexprlemss1u  7703  aptiprleml  7706  aptiprlemu  7707  archpr  7710  cauappcvgprlemladdru  7723  cauappcvgprlemladdrl  7724  archrecpr  7731  caucvgprlemladdrl  7745  caucvgprprlemml  7761  caucvgprprlemmu  7762  caucvgprprlemopl  7764  suplocexprlemml  7783  suplocexprlemrl  7784  suplocexprlemmu  7785  suplocexprlemdisj  7787  suplocexprlemloc  7788  suplocexprlemex  7789  suplocexprlemub  7790