Theorem prop 7473

Description: A positive real is an ordered pair of a lower cut and an upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prop	|- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )

Proof of Theorem prop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		npsspw 7469	. . . 4 |- P. C_ ( ~P Q. X. ~P Q. )
2	1	sseli 3151	. . 3 |- ( A e. P. -> A e. ( ~P Q. X. ~P Q. ) )
3		1st2nd2 6175	. . 3 |- ( A e. ( ~P Q. X. ~P Q. ) -> A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( A e. P. -> A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. )
5		eleq1 2240	. . 3 |- ( A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. -> ( A e. P. <-> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. ) )
6	5	biimpcd 159	. 2 |- ( A e. P. -> ( A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. ) )
7	4, 6	mpd 13	1 |- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   ~Pcpw 3575   <.cop 3595   X. cxp 4624   ` cfv 5216   1stc1st 6138   2ndc2nd 6139   Q.cnq 7278   P.cnp 7289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-inp 7464

This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  7474  0npr  7481  genpdf  7506  genipv  7507  genpelvl  7510  genpelvu  7511  genpml  7515  genpmu  7516  genprndl  7519  genprndu  7520  genpdisj  7521  genpassl  7522  genpassu  7523  addnqprl  7527  addnqpru  7528  addlocprlemeqgt  7530  addlocprlemgt  7532  addlocprlem  7533  addlocpr  7534  nqprl  7549  nqpru  7550  addnqprlemfl  7557  addnqprlemfu  7558  mulnqprl  7566  mulnqpru  7567  mullocprlem  7568  mullocpr  7569  mulnqprlemfl  7573  mulnqprlemfu  7574  addcomprg  7576  mulcomprg  7578  distrlem1prl  7580  distrlem1pru  7581  distrlem4prl  7582  distrlem4pru  7583  ltprordil  7587  1idprl  7588  1idpru  7589  ltpopr  7593  ltsopr  7594  ltaddpr  7595  ltexprlemm  7598  ltexprlemopl  7599  ltexprlemlol  7600  ltexprlemopu  7601  ltexprlemupu  7602  ltexprlemdisj  7604  ltexprlemloc  7605  ltexprlemfl  7607  ltexprlemrl  7608  ltexprlemfu  7609  ltexprlemru  7610  addcanprleml  7612  addcanprlemu  7613  prplnqu  7618  recexprlemm  7622  recexprlemdisj  7628  recexprlemloc  7629  recexprlem1ssl  7631  recexprlem1ssu  7632  recexprlemss1l  7633  recexprlemss1u  7634  aptiprleml  7637  aptiprlemu  7638  archpr  7641  cauappcvgprlemladdru  7654  cauappcvgprlemladdrl  7655  archrecpr  7662  caucvgprlemladdrl  7676  caucvgprprlemml  7692  caucvgprprlemmu  7693  caucvgprprlemopl  7695  suplocexprlemml  7714  suplocexprlemrl  7715  suplocexprlemmu  7716  suplocexprlemdisj  7718  suplocexprlemloc  7719  suplocexprlemex  7720  suplocexprlemub  7721