Theorem prop 7537

Description: A positive real is an ordered pair of a lower cut and an upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prop	|- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )

Proof of Theorem prop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		npsspw 7533	. . . 4 |- P. C_ ( ~P Q. X. ~P Q. )
2	1	sseli 3176	. . 3 |- ( A e. P. -> A e. ( ~P Q. X. ~P Q. ) )
3		1st2nd2 6230	. . 3 |- ( A e. ( ~P Q. X. ~P Q. ) -> A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( A e. P. -> A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. )
5		eleq1 2256	. . 3 |- ( A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. -> ( A e. P. <-> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. ) )
6	5	biimpcd 159	. 2 |- ( A e. P. -> ( A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. ) )
7	4, 6	mpd 13	1 |- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   ~Pcpw 3602   <.cop 3622   X. cxp 4658   ` cfv 5255   1stc1st 6193   2ndc2nd 6194   Q.cnq 7342   P.cnp 7353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-inp 7528

This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  7538  0npr  7545  genpdf  7570  genipv  7571  genpelvl  7574  genpelvu  7575  genpml  7579  genpmu  7580  genprndl  7583  genprndu  7584  genpdisj  7585  genpassl  7586  genpassu  7587  addnqprl  7591  addnqpru  7592  addlocprlemeqgt  7594  addlocprlemgt  7596  addlocprlem  7597  addlocpr  7598  nqprl  7613  nqpru  7614  addnqprlemfl  7621  addnqprlemfu  7622  mulnqprl  7630  mulnqpru  7631  mullocprlem  7632  mullocpr  7633  mulnqprlemfl  7637  mulnqprlemfu  7638  addcomprg  7640  mulcomprg  7642  distrlem1prl  7644  distrlem1pru  7645  distrlem4prl  7646  distrlem4pru  7647  ltprordil  7651  1idprl  7652  1idpru  7653  ltpopr  7657  ltsopr  7658  ltaddpr  7659  ltexprlemm  7662  ltexprlemopl  7663  ltexprlemlol  7664  ltexprlemopu  7665  ltexprlemupu  7666  ltexprlemdisj  7668  ltexprlemloc  7669  ltexprlemfl  7671  ltexprlemrl  7672  ltexprlemfu  7673  ltexprlemru  7674  addcanprleml  7676  addcanprlemu  7677  prplnqu  7682  recexprlemm  7686  recexprlemdisj  7692  recexprlemloc  7693  recexprlem1ssl  7695  recexprlem1ssu  7696  recexprlemss1l  7697  recexprlemss1u  7698  aptiprleml  7701  aptiprlemu  7702  archpr  7705  cauappcvgprlemladdru  7718  cauappcvgprlemladdrl  7719  archrecpr  7726  caucvgprlemladdrl  7740  caucvgprprlemml  7756  caucvgprprlemmu  7757  caucvgprprlemopl  7759  suplocexprlemml  7778  suplocexprlemrl  7779  suplocexprlemmu  7780  suplocexprlemdisj  7782  suplocexprlemloc  7783  suplocexprlemex  7784  suplocexprlemub  7785