Theorem prop 7389

Description: A positive real is an ordered pair of a lower cut and an upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prop	|- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )

Proof of Theorem prop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		npsspw 7385	. . . 4 |- P. C_ ( ~P Q. X. ~P Q. )
2	1	sseli 3124	. . 3 |- ( A e. P. -> A e. ( ~P Q. X. ~P Q. ) )
3		1st2nd2 6120	. . 3 |- ( A e. ( ~P Q. X. ~P Q. ) -> A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( A e. P. -> A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. )
5		eleq1 2220	. . 3 |- ( A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. -> ( A e. P. <-> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. ) )
6	5	biimpcd 158	. 2 |- ( A e. P. -> ( A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. ) )
7	4, 6	mpd 13	1 |- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1335   e. wcel 2128   ~Pcpw 3543   <.cop 3563   X. cxp 4583   ` cfv 5169   1stc1st 6083   2ndc2nd 6084   Q.cnq 7194   P.cnp 7205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-inp 7380

This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  7390  0npr  7397  genpdf  7422  genipv  7423  genpelvl  7426  genpelvu  7427  genpml  7431  genpmu  7432  genprndl  7435  genprndu  7436  genpdisj  7437  genpassl  7438  genpassu  7439  addnqprl  7443  addnqpru  7444  addlocprlemeqgt  7446  addlocprlemgt  7448  addlocprlem  7449  addlocpr  7450  nqprl  7465  nqpru  7466  addnqprlemfl  7473  addnqprlemfu  7474  mulnqprl  7482  mulnqpru  7483  mullocprlem  7484  mullocpr  7485  mulnqprlemfl  7489  mulnqprlemfu  7490  addcomprg  7492  mulcomprg  7494  distrlem1prl  7496  distrlem1pru  7497  distrlem4prl  7498  distrlem4pru  7499  ltprordil  7503  1idprl  7504  1idpru  7505  ltpopr  7509  ltsopr  7510  ltaddpr  7511  ltexprlemm  7514  ltexprlemopl  7515  ltexprlemlol  7516  ltexprlemopu  7517  ltexprlemupu  7518  ltexprlemdisj  7520  ltexprlemloc  7521  ltexprlemfl  7523  ltexprlemrl  7524  ltexprlemfu  7525  ltexprlemru  7526  addcanprleml  7528  addcanprlemu  7529  prplnqu  7534  recexprlemm  7538  recexprlemdisj  7544  recexprlemloc  7545  recexprlem1ssl  7547  recexprlem1ssu  7548  recexprlemss1l  7549  recexprlemss1u  7550  aptiprleml  7553  aptiprlemu  7554  archpr  7557  cauappcvgprlemladdru  7570  cauappcvgprlemladdrl  7571  archrecpr  7578  caucvgprlemladdrl  7592  caucvgprprlemml  7608  caucvgprprlemmu  7609  caucvgprprlemopl  7611  suplocexprlemml  7630  suplocexprlemrl  7631  suplocexprlemmu  7632  suplocexprlemdisj  7634  suplocexprlemloc  7635  suplocexprlemex  7636  suplocexprlemub  7637