Theorem nsuceq0g 4430

Description: No successor is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nsuceq0g	|- ( A e. V -> suc A =/= (/) )

Proof of Theorem nsuceq0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3438	. . 3 |- -. A e. (/)
2		sucidg 4428	. . . 4 |- ( A e. V -> A e. suc A )
3		eleq2 2251	. . . 4 |- ( suc A = (/) -> ( A e. suc A <-> A e. (/) ) )
4	2, 3	syl5ibcom 155	. . 3 |- ( A e. V -> ( suc A = (/) -> A e. (/) ) )
5	1, 4	mtoi 665	. 2 |- ( A e. V -> -. suc A = (/) )
6	5	neneqad 2436	1 |- ( A e. V -> suc A =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1363   e. wcel 2158   =/= wne 2357   (/)c0 3434   suc csuc 4377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-nul 3435  df-sn 3610  df-suc 4383

This theorem is referenced by:  onsucelsucexmid  4541  peano3  4607  frec0g  6411  2on0  6440  zfz1iso  10834