Theorem nsuceq0g 4483

Description: No successor is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nsuceq0g	|- ( A e. V -> suc A =/= (/) )

Proof of Theorem nsuceq0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3472	. . 3 |- -. A e. (/)
2		sucidg 4481	. . . 4 |- ( A e. V -> A e. suc A )
3		eleq2 2271	. . . 4 |- ( suc A = (/) -> ( A e. suc A <-> A e. (/) ) )
4	2, 3	syl5ibcom 155	. . 3 |- ( A e. V -> ( suc A = (/) -> A e. (/) ) )
5	1, 4	mtoi 666	. 2 |- ( A e. V -> -. suc A = (/) )
6	5	neneqad 2457	1 |- ( A e. V -> suc A =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2178   =/= wne 2378   (/)c0 3468   suc csuc 4430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-nul 3469  df-sn 3649  df-suc 4436

This theorem is referenced by:  onsucelsucexmid  4596  peano3  4662  frec0g  6506  2on0  6535  zfz1iso  11023