Theorem nsuceq0g 4403

Description: No successor is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nsuceq0g	|- ( A e. V -> suc A =/= (/) )

Proof of Theorem nsuceq0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3418	. . 3 |- -. A e. (/)
2		sucidg 4401	. . . 4 |- ( A e. V -> A e. suc A )
3		eleq2 2234	. . . 4 |- ( suc A = (/) -> ( A e. suc A <-> A e. (/) ) )
4	2, 3	syl5ibcom 154	. . 3 |- ( A e. V -> ( suc A = (/) -> A e. (/) ) )
5	1, 4	mtoi 659	. 2 |- ( A e. V -> -. suc A = (/) )
6	5	neneqad 2419	1 |- ( A e. V -> suc A =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   (/)c0 3414   suc csuc 4350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-nul 3415  df-sn 3589  df-suc 4356

This theorem is referenced by:  onsucelsucexmid  4514  peano3  4580  frec0g  6376  2on0  6405  zfz1iso  10776