Theorem nsuceq0g 4396

Description: No successor is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nsuceq0g	|- ( A e. V -> suc A =/= (/) )

Proof of Theorem nsuceq0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3413	. . 3 |- -. A e. (/)
2		sucidg 4394	. . . 4 |- ( A e. V -> A e. suc A )
3		eleq2 2230	. . . 4 |- ( suc A = (/) -> ( A e. suc A <-> A e. (/) ) )
4	2, 3	syl5ibcom 154	. . 3 |- ( A e. V -> ( suc A = (/) -> A e. (/) ) )
5	1, 4	mtoi 654	. 2 |- ( A e. V -> -. suc A = (/) )
6	5	neneqad 2415	1 |- ( A e. V -> suc A =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   (/)c0 3409   suc csuc 4343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-nul 3410  df-sn 3582  df-suc 4349

This theorem is referenced by:  onsucelsucexmid  4507  peano3  4573  frec0g  6365  2on0  6394  zfz1iso  10754