Theorem nsuceq0g 4433

Description: No successor is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nsuceq0g	|- ( A e. V -> suc A =/= (/) )

Proof of Theorem nsuceq0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3441	. . 3 |- -. A e. (/)
2		sucidg 4431	. . . 4 |- ( A e. V -> A e. suc A )
3		eleq2 2253	. . . 4 |- ( suc A = (/) -> ( A e. suc A <-> A e. (/) ) )
4	2, 3	syl5ibcom 155	. . 3 |- ( A e. V -> ( suc A = (/) -> A e. (/) ) )
5	1, 4	mtoi 665	. 2 |- ( A e. V -> -. suc A = (/) )
6	5	neneqad 2439	1 |- ( A e. V -> suc A =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   =/= wne 2360   (/)c0 3437   suc csuc 4380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-nul 3438  df-sn 3613  df-suc 4386

This theorem is referenced by:  onsucelsucexmid  4544  peano3  4610  frec0g  6416  2on0  6445  zfz1iso  10840