Theorem nsuceq0g 4465

Description: No successor is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nsuceq0g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → suc 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem nsuceq0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3464	. . 3 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
2		sucidg 4463	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
3		eleq2 2269	. . . 4 ⊢ (suc 𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ ∅))
4	2, 3	syl5ibcom 155	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (suc 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ ∅))
5	1, 4	mtoi 666	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ¬ suc 𝐴 = ∅)
6	5	neneqad 2455	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → suc 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2176   ≠ wne 2376  ∅c0 3460  suc csuc 4412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-nul 3461  df-sn 3639  df-suc 4418

This theorem is referenced by:  onsucelsucexmid  4578  peano3  4644  frec0g  6483  2on0  6512  zfz1iso  10986