Theorem nsuceq0g 4269

Description: No successor is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nsuceq0g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → suc 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem nsuceq0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3306	. . 3 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
2		sucidg 4267	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
3		eleq2 2158	. . . 4 ⊢ (suc 𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ ∅))
4	2, 3	syl5ibcom 154	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (suc 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ ∅))
5	1, 4	mtoi 628	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ¬ suc 𝐴 = ∅)
6	5	neneqad 2341	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → suc 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1296   ∈ wcel 1445   ≠ wne 2262  ∅c0 3302  suc csuc 4216

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-v 2635  df-dif 3015  df-un 3017  df-nul 3303  df-sn 3472  df-suc 4222

This theorem is referenced by:  onsucelsucexmid  4374  peano3  4439  frec0g  6200  2on0  6229  zfz1iso  10377