ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nsuceq0g GIF version

Theorem nsuceq0g 4403
Description: No successor is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
nsuceq0g (𝐴𝑉 → suc 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem nsuceq0g
StepHypRef Expression
1 noel 3418 . . 3 ¬ 𝐴 ∈ ∅
2 sucidg 4401 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ∈ suc 𝐴)
3 eleq2 2234 . . . 4 (suc 𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ suc 𝐴𝐴 ∈ ∅))
42, 3syl5ibcom 154 . . 3 (𝐴𝑉 → (suc 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ ∅))
51, 4mtoi 659 . 2 (𝐴𝑉 → ¬ suc 𝐴 = ∅)
65neneqad 2419 1 (𝐴𝑉 → suc 𝐴 ≠ ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1348  wcel 2141  wne 2340  c0 3414  suc csuc 4350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-nul 3415  df-sn 3589  df-suc 4356
This theorem is referenced by:  onsucelsucexmid  4514  peano3  4580  frec0g  6376  2on0  6405  zfz1iso  10776
  Copyright terms: Public domain W3C validator