ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nsuceq0g GIF version

Theorem nsuceq0g 4208
Description: No successor is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
nsuceq0g (𝐴𝑉 → suc 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem nsuceq0g
StepHypRef Expression
1 noel 3273 . . 3 ¬ 𝐴 ∈ ∅
2 sucidg 4206 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ∈ suc 𝐴)
3 eleq2 2146 . . . 4 (suc 𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ suc 𝐴𝐴 ∈ ∅))
42, 3syl5ibcom 153 . . 3 (𝐴𝑉 → (suc 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ ∅))
51, 4mtoi 623 . 2 (𝐴𝑉 → ¬ suc 𝐴 = ∅)
65neneqad 2328 1 (𝐴𝑉 → suc 𝐴 ≠ ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2249  c0 3269  suc csuc 4155
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-nul 3270  df-sn 3428  df-suc 4161
This theorem is referenced by:  onsucelsucexmid  4308  peano3  4373  frec0g  6092  2on0  6121
  Copyright terms: Public domain W3C validator