Theorem nsuceq0g 4453

Description: No successor is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nsuceq0g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → suc 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem nsuceq0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3454	. . 3 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
2		sucidg 4451	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
3		eleq2 2260	. . . 4 ⊢ (suc 𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ ∅))
4	2, 3	syl5ibcom 155	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (suc 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ ∅))
5	1, 4	mtoi 665	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ¬ suc 𝐴 = ∅)
6	5	neneqad 2446	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → suc 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∅c0 3450  suc csuc 4400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-nul 3451  df-sn 3628  df-suc 4406

This theorem is referenced by:  onsucelsucexmid  4566  peano3  4632  frec0g  6455  2on0  6484  zfz1iso  10933