Theorem nsuceq0g 4449

Description: No successor is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nsuceq0g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → suc 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem nsuceq0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3450	. . 3 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
2		sucidg 4447	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
3		eleq2 2257	. . . 4 ⊢ (suc 𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ ∅))
4	2, 3	syl5ibcom 155	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (suc 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ ∅))
5	1, 4	mtoi 665	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ¬ suc 𝐴 = ∅)
6	5	neneqad 2443	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → suc 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  ∅c0 3446  suc csuc 4396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-nul 3447  df-sn 3624  df-suc 4402

This theorem is referenced by:  onsucelsucexmid  4562  peano3  4628  frec0g  6450  2on0  6479  zfz1iso  10912