Theorem nsuceq0g 4539

Description: No successor is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nsuceq0g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → suc 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem nsuceq0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3512	. . 3 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
2		sucidg 4537	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
3		eleq2 2296	. . . 4 ⊢ (suc 𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ ∅))
4	2, 3	syl5ibcom 155	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (suc 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ ∅))
5	1, 4	mtoi 670	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ¬ suc 𝐴 = ∅)
6	5	neneqad 2491	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → suc 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  ∅c0 3508  suc csuc 4486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-nul 3509  df-sn 3695  df-suc 4492

This theorem is referenced by:  onsucelsucexmid  4652  peano3  4718  frec0g  6628  2on0  6657  zfz1iso  11213