ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nsuceq0g GIF version

Theorem nsuceq0g 4269
Description: No successor is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
nsuceq0g (𝐴𝑉 → suc 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem nsuceq0g
StepHypRef Expression
1 noel 3306 . . 3 ¬ 𝐴 ∈ ∅
2 sucidg 4267 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ∈ suc 𝐴)
3 eleq2 2158 . . . 4 (suc 𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ suc 𝐴𝐴 ∈ ∅))
42, 3syl5ibcom 154 . . 3 (𝐴𝑉 → (suc 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ ∅))
51, 4mtoi 628 . 2 (𝐴𝑉 → ¬ suc 𝐴 = ∅)
65neneqad 2341 1 (𝐴𝑉 → suc 𝐴 ≠ ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1296  wcel 1445  wne 2262  c0 3302  suc csuc 4216
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-v 2635  df-dif 3015  df-un 3017  df-nul 3303  df-sn 3472  df-suc 4222
This theorem is referenced by:  onsucelsucexmid  4374  peano3  4439  frec0g  6200  2on0  6229  zfz1iso  10377
  Copyright terms: Public domain W3C validator