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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > frec0g | Unicode version |
Description: The initial value resulting from finite recursive definition generation. (Contributed by Jim Kingdon, 7-May-2020.) |
Ref | Expression |
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frec0g |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | dm0 4691 |
. . . . . . . . . 10
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2 | 1 | biantrur 299 |
. . . . . . . . 9
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3 | vex 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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4 | nsuceq0g 4278 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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5 | 3, 4 | ax-mp 7 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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6 | 5 | nesymi 2313 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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7 | 1 | eqeq1i 2107 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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8 | 6, 7 | mtbir 637 |
. . . . . . . . . . . . 13
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9 | 8 | intnanr 883 |
. . . . . . . . . . . 12
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10 | 9 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
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11 | 10 | nrex 2483 |
. . . . . . . . . 10
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12 | 11 | biorfi 706 |
. . . . . . . . 9
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13 | orcom 688 |
. . . . . . . . 9
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14 | 2, 12, 13 | 3bitri 205 |
. . . . . . . 8
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15 | 14 | abbii 2215 |
. . . . . . 7
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16 | abid2 2220 |
. . . . . . 7
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17 | 15, 16 | eqtr3i 2122 |
. . . . . 6
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18 | elex 2652 |
. . . . . 6
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19 | 17, 18 | syl5eqel 2186 |
. . . . 5
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20 | 0ex 3995 |
. . . . . . 7
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21 | dmeq 4677 |
. . . . . . . . . . . . 13
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22 | 21 | eqeq1d 2108 |
. . . . . . . . . . . 12
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23 | fveq1 5352 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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24 | 23 | fveq2d 5357 |
. . . . . . . . . . . . 13
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25 | 24 | eleq2d 2169 |
. . . . . . . . . . . 12
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26 | 22, 25 | anbi12d 460 |
. . . . . . . . . . 11
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27 | 26 | rexbidv 2397 |
. . . . . . . . . 10
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28 | 21 | eqeq1d 2108 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | 28 | anbi1d 456 |
. . . . . . . . . 10
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30 | 27, 29 | orbi12d 748 |
. . . . . . . . 9
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31 | 30 | abbidv 2217 |
. . . . . . . 8
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32 | eqid 2100 |
. . . . . . . 8
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33 | 31, 32 | fvmptg 5429 |
. . . . . . 7
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34 | 20, 33 | mpan 418 |
. . . . . 6
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35 | 34, 17 | syl6eq 2148 |
. . . . 5
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36 | 19, 35 | syl 14 |
. . . 4
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37 | 36, 18 | eqeltrd 2176 |
. . 3
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38 | df-frec 6218 |
. . . . . 6
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39 | 38 | fveq1i 5354 |
. . . . 5
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40 | peano1 4446 |
. . . . . 6
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41 | fvres 5377 |
. . . . . 6
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42 | 40, 41 | ax-mp 7 |
. . . . 5
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43 | 39, 42 | eqtri 2120 |
. . . 4
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44 | eqid 2100 |
. . . . 5
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45 | 44 | tfr0 6150 |
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46 | 43, 45 | syl5eq 2144 |
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47 | 37, 46 | syl 14 |
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48 | 47, 36 | eqtrd 2132 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 584 ax-in2 585 ax-io 671 ax-5 1391 ax-7 1392 ax-gen 1393 ax-ie1 1437 ax-ie2 1438 ax-8 1450 ax-10 1451 ax-11 1452 ax-i12 1453 ax-bndl 1454 ax-4 1455 ax-13 1459 ax-14 1460 ax-17 1474 ax-i9 1478 ax-ial 1482 ax-i5r 1483 ax-ext 2082 ax-sep 3986 ax-nul 3994 ax-pow 4038 ax-pr 4069 ax-un 4293 ax-setind 4390 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 932 df-tru 1302 df-fal 1305 df-nf 1405 df-sb 1704 df-eu 1963 df-mo 1964 df-clab 2087 df-cleq 2093 df-clel 2096 df-nfc 2229 df-ne 2268 df-ral 2380 df-rex 2381 df-rab 2384 df-v 2643 df-sbc 2863 df-csb 2956 df-dif 3023 df-un 3025 df-in 3027 df-ss 3034 df-nul 3311 df-pw 3459 df-sn 3480 df-pr 3481 df-op 3483 df-uni 3684 df-int 3719 df-iun 3762 df-br 3876 df-opab 3930 df-mpt 3931 df-tr 3967 df-id 4153 df-iord 4226 df-on 4228 df-suc 4231 df-iom 4443 df-xp 4483 df-rel 4484 df-cnv 4485 df-co 4486 df-dm 4487 df-res 4489 df-iota 5024 df-fun 5061 df-fn 5062 df-fv 5067 df-recs 6132 df-frec 6218 |
This theorem is referenced by: frecrdg 6235 frec2uz0d 10013 frec2uzrdg 10023 frecuzrdg0 10027 frecuzrdgg 10030 frecuzrdg0t 10036 seq3val 10072 seqvalcd 10073 |
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